Question

如图，已知抛物线经过坐标原点O及A（-2

3

，0），其顶点为B（m，3），C是AB中点，点E是直线OC上的一个动点 （点E与点O不重合），点D在y轴上，且EO=ED．
（1）求此抛物线及直线OC的解析式；
（2）当点E运动到抛物线上时，求BD的长；
（3）连接AD，当点E运动到何处时，△AED的面积为

3 3

4

？请直接写出此时E点的坐标．

Answer 1

分析：（1）先根据抛物线过原点和A（-2

3

， 0），得出抛物线对称轴为x=-

3

，故可得出B点坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+

3

）²+3，由抛物线经过（0，0）可求出a的值，故可得出抛物线的解析式，
由C为AB的中点可得出C点坐标，进而得出直线OC的解析式；
（2）连接ED，由于点E是抛物线与直线OC的交点所以联立二次函数与直线的解析式可求出E点坐标，过E作EF⊥y轴于F可求出OF的长，再由EO=ED可得出D点坐标，故可求出BD的长．
（3）连接DE、AE、AD，设E（x，-

3

3

x），由A，D两点坐标即可得出OA=2

3

，OD=

10

3

，由S_{四边形AODE}=S_△AOE+S_△DOE=S_△AED+S_△AOD即可得出结论．

解答：解：（1）∵抛物线过原点和A（-2

3

， 0），
∴抛物线对称轴为x=-

3

．
∴B（-

3

， 3）．
设抛物线的解析式为y=a（x+

3

）²+3．
∵抛物线经过（0，0），
∴0=3a+3．
∴a=-1．
∴y=-（x+

3

）²+3，
=-x²-2

3

x．
∵C为AB的中点，A（-2

3

，0）、B（-

3

，3），
∴C（-

3 3

2

，

3

2

）．
∴直线OC的解析式为y=-

3

3

x；

（2）如图1，连接ED．
∵点E为抛物线y=-x²-2

3

x与直线y=-

3

3

x的交点（点E与点O不重合）．
∴

y=- 3 3 x y=-x2-2 3 x

，解得

x=- 5 3 3 y= 5 3

或

x=0 y=0

（不合题意，舍去），
∴E（-

5 3

3

，

5

3

）；
过E作EF⊥y轴于F，可得OF=

5

3

，
∵OE=DE，EF⊥y轴，
∴OF=DF，
∴DO=2OF=

10

3

，
∴D（0，

10

3

），
∴BD=

( 3 )2+(3- 10 3 )2

=

2 7

3

；

（3）如图2，连接DE、AE、AD，设E（-a，

3

3

a）（a＞0），
∵A（-2

3

，0），D（0，

2 3

3

a），
∴OA=2

3

，OD=

2 3

3

a，
∴S_△AED=S_△AOE+S_△DOE-S_△AOD=

1

2

×2

3

×

3

3

a+

1

2

×a×

2 3

3

a-

1

2

×2

3

×

2 3

3

a=

3

3

a²-a，
∴

3

3

a²-a=

3 3

4

，
解得a=

3 3

2

；
∴E（-

3 3

2

，

3

2

），
同理，当E在第四象限时，
E（

3

2

，-

1

2

）．
故E点的坐标为（-

3 3

2

，

3

2

）或（

3

2

，-

1

2

）．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、三角形的面积公式等知识，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．