Question

【题目】如图，已知二次函数y＝ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．

（1）求出二次函数表达式；

（2）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标；

（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请求出此时点N的坐标．

Answer 1

【答案】(1) y＝﹣x2+x+4；(2) （3，0）;(3)N（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．

【解析】

（1）根据待定系数法即可求得；

（2）设点N的坐标为（n，0），则BN＝n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD＝（n+2），构建二次函数，根据函数解析式求得即可；

（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标．

解：（1）∵二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），

∴ ，

解得 ．

∴抛物线表达式： ；

（2）令y＝0，则 ，

解得x1＝8，x2＝﹣2，

∴点B的坐标为（﹣2，0）．

又∵A（0，4），C（8，0），

∴,

∴AB2+AC2＝BC2，

∴∠BAC＝90°．

∴AC⊥AB．

∵AC∥MN，

∴MN⊥AB．

设点N的坐标为（n，0），则BN＝n+2，

∵MN∥AC，

△BMN∽△BAC

∴,

∴,

,

,

∵S△AMN＝AMMN

＝

＝，

当n＝3时，△AMN面积最大是5，

∴N点坐标为（3，0）．

∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．

（3）由（2）知，AC＝ ，

①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），

②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（，0）或（，0）

③作AC的垂直平分线交AC于P，交x轴于N，

∴△AOC∽△NPC．

∴即 ．

∴CN＝5．

∴此时N的坐标为（3，0），

综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（，0）、（3，0）、（，0）．