Question

【题目】如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH．以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③﹣1；④＝2﹣，其中正确的结论是（　　）

A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，从而得GH⊥BE；由GH是∠EGC的平分线，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中点，利用中位线定理，得HO∥BG且HO=BG；由△EHG是直角三角形，因为O为EG的中点，所以OH=OG=OE，得出点H在正方形CGFE的外接圆上，根据圆周角定理得出∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°，∠HEG=∠HFG，从而证得△EHM∽△GHF；设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，由HO∥BG，得出△DHN∽△DGC，即可得出，得到，即a2+2ab-b2=0，从而求得，设正方形ECGF的边长是2b，则EG=2b，得到HO=b，通过证得△MHO△MFE，得到，进而得到，进一步得到.

解：如图，

∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，

∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，

在△BCE和△DCG中，

∴△BCE≌△DCG（SAS），

∴∠BEC＝∠BGH，

∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，

∴∠BEC+∠HDE＝90°，

∴GH⊥BE．

故①正确；

∵△EHG是直角三角形，O为EG的中点，

∴OH＝OG＝OE，

∴点H在正方形CGFE的外接圆上，

∵EF＝FG，

∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，

∴△EHM∽△GHF，

故②正确；

∵△BGH≌△EGH，

∴BH＝EH，

又∵O是EG的中点，

∴HO∥BG，

∴△DHN∽△DGC，

设EC和OH相交于点N．

设HN＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC＝b，CD＝2a，

即a2+2ab﹣span>b2＝0，

解得：a＝b＝（﹣1+）b，或a＝（﹣1﹣）b（舍去），

故③正确；

∵△BGH≌△EGH，

∴EG＝BG，

∵HO是△EBG的中位线，

∴HO＝BG，

∴HO＝EG，

设正方形ECGF的边长是2b，

∴EG＝2b，

∴HO＝b，

∵OH∥BG，CG∥EF，

∴OH∥EF，

∴△MHO△MFE，

∴，

∴EM＝OM，

∴，

∴

∵EO＝GO，

∴S△HOE＝S△HOG，

∴

故④错误，

故选：A．