Question

9．如图1，已知△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90度，把一块含30度角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．
（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N．
①求证：DM=DN；
②在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明如何变化的；若不发生变化，请求出其面积；
（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①连接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD=45°，根据ASA证△MBD≌△NCD，根据全等三角形的性质推出即可；
②根据全等得出△MBD和△NCD的面积相等，求出四边形DMBN的面积等于△BDC的面积，求出即可；
（2）连接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD=45°，根据ASA证△MBD≌△NCD，根据全等三角形的性质推出即可．

解答 （1）①证明：如图1，连接DB，
∵在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，
∴BD=DC=AD，∠BDC=90°，
∴∠ABD=∠C=45°，∠MDB+∠BDN=90°，∠BDN+∠CDN=90°，
∴∠MDB=∠CDN，
在△MBD和△NCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MDB=∠NDC}\\{BD=CD}\\{∠MBD=∠NCD}\end{array}\right.$，
②解：四边形DMBN的面积不发生变化，
由①知：△MBD≌△NCD，
∴S_△MBD=S_△NCD，
∴S_{四边形DMBN}=S_△DMB+S_△BDN=S_△CND+S_△BDN=S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{4}$；
（2）DM=DN仍然成立，
证明：如图2，连接DB，
在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，
∴DB=DC，∠BDC=90°，
∴∠DCB=∠DBC=45°，
∴∠DBM=∠DCN=135°，
∵∠NDC+∠CDM=90°，∠BDM+∠CDM=90°，
∴∠CDN=∠BDM，
在△CDN和△BDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDN=∠BDM}\\{DC=DB}\\{∠DCN=∠DBM}\end{array}\right.$，
∴DM=DN．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形性质、三角形斜边上中线性质、等腰三角形的三线合一，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等腰三角形的性质是解题的关键．