Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠B＝∠DCA，AD∥BC，连结OD，AC，且OD与AC相交于点E．

（1）求证：CD与⊙O相切；

（2）若⊙O的半径为4，且＝，求tan∠DCA的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）

【解析】

(1)连接OC，易证∠DCA=∠OCB，由于∠ACO+∠OCB=90°，所以∠ACO+∠DCA=90°，即∠DCO=90°，从而可证CD与⊙O相切；

(2) 过点O作OF∥BC，交CD于点F，交AC于点G，由于△AED∽△GEO，再利用对应边成比例，设AD=5x，OG=2x，进一步证明△ADC∽△CAB，所以AC2=ADBC，所以AC=，最后根据锐角三角函数即可求出tan∠B的值．

解：（1）连接OC，如下图所示：

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠B，

∵∠B＝∠DCA，

∴∠DCA＝∠OCB，

∵∠ACO+∠OCB＝90°，

∴∠ACO+∠DCA＝90°，

即∠DCO＝90°，

∵OC是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）过点O作OF∥BC，交CD于点F，交AC于点G，

∵AD∥BC，

∴AD∥OG，

∴△AED∽△GEO，

，

设AD＝5x，OG＝2x，

∵∠ACB＝90°，

∴由垂径定理可知：点G为AC的中点，

∴OG是△ACB的中位线，

∴BC＝2OG＝4x，

∵∠B＝∠DCA，∠DAC＝∠ACB＝90°，

∴△ADC∽△CAB

∴，

∴AC2＝AD×BC，

∴AC＝，

∴tan∠B＝.

故答案为：tan∠B=.