Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P在∠BCA平分线CD上，且PA＝PB．

（1）用尺规作出符合要求的点P（保留作图痕迹，不需要写作法）；

（2）判断△ABP的形状（不需要写证明过程）

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)等腰直角三角形.

【解析】

（1）由PA=PB知点P同时还在线段AB的中垂线上，据此作图可得；

（2）点P分别作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足为E、F，由全等三角形的判定定理得出Rt△APE≌Rt△BPF，再由全等三角形的性质即可判断出△ABP是等腰直角三角形．

（1）如图所示，点P即为所求；

（2）△ABP是等腰直角三角形，

理由如下：过点P分别作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足为E、F．

∵PC平分∠ACB，PE⊥AC、PF⊥CB，垂足为E、F，

∴PE＝PF．

在Rt△APE与Rt△BPF中，

∵，

∴Rt△APE≌Rt△BPF．

∴∠APE＝∠BPF，

∵∠PEC＝90°，∠PFC＝90°，∠ECF＝90°，

∴∠EPF＝90°，

∴∠APB＝90°．

又∵PA＝PB，

∴△ABP是等腰直角三角形．