Question

如图，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点O，把边BA、CD分别绕点B、C同时逆时针旋转60°得四边形A′BCD′，其对角线交点为O′，连接OD′．下列结论：
①四边形A′BCD′为菱形；
②；
③线段OD′的长为-1；
④点O运动到点O′的路径是线段OO′．

其中正确的结论共有

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：①根据旋转角是60°以及正方形的四个角都是直角可得∠BCD′=30°，然后证明A′B∥CD′，进而得到四边形A′BCD′是平行四边形，再根据A′B=BC，即可证明四边形A′BCD′是菱形；
②根据旋转角是60°求出点B到A′D′的距离是A′B的一半，也就是AB的一半，然后根据正方形的面积公式以及菱形的面积即可证明；
③先求出OA′的长度，再根据菱形的对边相等，减去正方形的边长即可；
④根据旋转的性质，点O以BC的中点为圆心，以BC的一半为半径逆时针旋转可以得到点O′，所以路径是弧而非线段．
解答：①根据题意，∠A′BA=∠D′CD=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCD′=30°，
∴∠A′BC+∠BCD′=60°+90°+30°=180°，
∴A′B∥CD′，
又∵A′B=CD′=AB，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，
∵AB=BC（正方形的边长相等），
∴四边形A′BCD′是菱形，故本题小题正确；
②∵∠ABA′=60°，AB=2，
∴点B到A′D′的距离是：A′B=AB=1，
∴S_{四边形A′BCD}=BC•（A′B）=2×1=2，
S_{正方形ABCD}=BC•AB=2×2=4，
∴S_{四边形A′BCD}=S_{正方形ABCD}，故本小题正确；
③∵点O是AC的中点，
∴OA′=A′B•sin60°+BC=2×+×2=+1，
∴OD′=OA′-A′D′=+1-2=-1，故本小题正确；
④根据菱形的对角线互相垂直可得△BCO′是直角三角形，
∴以BC的中点为圆心，以BC的一半为半径，点O逆时针旋转可以到达点O′的位置，经过路径是弧而不是线段OO′，故本小题错误．
综上所述，正确的结论有①②③共3个．
故选C．
点评：本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，旋转变换，是综合题目，但难度不大，仔细分析即可求解．