Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是

AD

的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q．
（1）求证：P是△ACQ的外心；
（2）若tan∠ABC=

3

4

，CF=8，求CQ的长；
（3）求证：（FP+PQ）²=FP•FG．

Answer 1

分析：（1）由于AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，只需证明P是Rt△ACQ斜边AQ的中点即可；由垂径定理易知弧AC=弧AE，而C是弧AD的中点，那么弧CD=弧AE，即∠PAC=∠PCA，根据等角的余角相等，还可得到∠AQC=∠PCQ，由此可证得AP=PC=PQ，即P是△ACQ的外心；
（2）由（1）的相等弧可知：∠ABC=∠ACE=∠CAQ，那么它们的正切值也相等；在Rt△CAF中，根据CF的长及∠ACF的正切值，通过解直角三角形可求得AC的长，进而可在Rt△CAQ中，根据∠CAQ的正切值求出CQ的长；
（3）由（1）知：PQ=CP，则所求的乘积式可化为：CF²=FP•FG；在Rt△ACB中，由射影定理得：CF²=AF•FB，因此只需证明AF•FB=FG•FP即可，将上式化成比例式，证线段所在的三角形相似即可，即证Rt△AFP∽Rt△GFB．

解答：（1）证明：∵C是

AD

的中点，∴

AC

=

CD

，
∴∠CAD=∠ABC
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∴∠CAD+∠AQC=90°
又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°
∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ中，PC=PQ，
∵CE⊥直径AB，∴

AC

=

AE

∴

AE

=

CD

∴∠CAD=∠ACE．
∴在△APC中，有PA=PC，
∴PA=PC=PQ
∴P是△ACQ的外心．

（2）解：∵CE⊥直径AB于F，
∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=

CF

BF

=

3

4

，CF=8，
得BF=

32

3

．
∴由勾股定理，得BC=

CF2+BF2

=

40

3

∵AB是⊙O的直径，
∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=

AC

BC

=

3

4

，BC=

40

3

，
∴AC=10，
易知Rt△ACB∽Rt△QCA，
∴AC²=CQ•BC，
∴CQ=

AC2

BC

=

15

2

；

（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°
∴∠DAB+∠ABD=90°
又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°
∴∠DAB=∠G；
∴Rt△AFP∽Rt△GFB，
∴

AF

FG

=

FP

BF

，即AF•BF=FP•FG
易知Rt△ACF∽Rt△CBF，
∴CF²=AF•BF（或由射影定理得）
∴FC²=PF•FG，
由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC
∴（FP+PQ）²=FP•FG．

点评：此题主要考查了圆心角、弧的关系，圆周角定理，三角形的外接圆，勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识．