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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A、B重合），过M作MN∥BC交AC于点N，以MN为直径作⊙O，设AM=x．
    （1）用含x的代数式表示△AMN的面积S；
    （2）M在AB上运动，当⊙O与BC相切时（如图①），求x的值；
    （3）M在AB上运动，当⊙O与BC相交时（如图②），在⊙O上取一点P精英家教网，使PM∥AC，连接PN，PM交BC于E，PN交BC于点F，设梯形MNFE的面积为y，求y关于x的函数关系式．
    分析：（1）由已知条件证明△AMN∽△ABC（AA），然后根据相似三角形的对应边成比例求得AN=
    3
    4
    x    ，然后由三角形的面积公式求得用x的代数式表示的△AMN的面积S；
    （2）设BC与⊙O相切于点D，连接AO、OD，则AO=OD=
    1
    2
    MN．在直角三角形Rt△ABC中，根据勾股定理求得BC的值；然后根据相似三角形的性质求得OD；再过M作MQ⊥BC于Q，构建△BMQ∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例解得x的值；
    （3）由已知条件证明四边形AMPN是矩形，根据矩形的性质求得PN=AM=x；然后由平行四边形BFNM的性质解得FN=8-x，PF=2x-8；最后利用相似三角形Rt△PEF∽Rt△ABC的性质求得S△PEF值；最后利用“割补法”求得题型的面积．
    解答：精英家教网解：（1）∵MN∥BC，
    ∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C，
    ∴△AMN∽△ABC，
    ∴
    AM
    AB
    =
    AN
    AC
    ，即
    x
    8
    =
    AN
    6
    ，
    ∴AN=
    3
    4
    x
    ∵AM⊥AN，
    ∴S△AMN=
    1
    2
    •AM•AN=
    1
    2
    •x•
    3
    4
    x=
    3
    8
    x2    ；

    （2）设BC与⊙O相切于点D，连接AO、OD，则AO=OD=
    1
    2
    MN，
    在Rt△ABC中，BC=
    		AB2+BC2
    =10    ，
    又∵△AMN∽△ABC，
    ∴
    AM
    AB
    =
    MN
    BC
    ，即
    x
    8
    =
    MN
    10
    ，
    ∴MN=
    5
    4
    x    ，
    ∴OD=
    5
    8
    x    ；
    过M作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=
    5
    8
    x    ；
    则△BMQ∽△ABC，
    ∴
    BM
    BC
    =
    QM
    AC
    ，
    ∴BM=
    10×
    5
    8
    x
    6
    =
    25
    24
    x    ；精英家教网
    ∵AB=AM+BM=
    25
    24
    x+x=8    ，
    ∴x=
    192
    49
    ；

    （3）∵∠A=90°，PM∥AC，∠MPN=90°，
    ∴四边形AMPN是矩形，
    ∴PN=AM=x；
    又∵四边形BFNM是平行四边形，
    ∴FN=BM=8-x，PF=PN-FN=x-（8-x）=2x-8，
    又Rt△PEF∽Rt△ABC，
    ∴(
    PF
    AB
    )2=
    S△PEF
    S△ABC
    ，
    ∴S△PEF=(
    2x-8
    8
    )2•
    1
    2
    ×8×6=
    3
    2
    (x-4)2    ，
    ∵S△AMN=S△PMN
    ∴S梯形MNFE=S△PMN-S△PEF=
    3
    8
    x2-
    3
    2
    (x-4)2=-
    9
    8
    x2+12x-24    （0≤x≤8）．
    点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及切线的性质．解答此题时，还借用了直径所对的圆周角是直角的性质．
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    23、如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
    （1）CD与EF平行吗？为什么？
    （2）如果∠1=∠2，且∠3=115°，求∠ACB的度数．

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    在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE．
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    （1）如图1．连接BE、CD，BE与CD交于点O，
    ①证明：DC=BE；
    ②∠BOC=
     
    °． （直接填答案）
    （2）如图2，连接DE，交AB于点F．DF与EF相等吗？证明你的结论．

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    18、如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E、已知△ABC中与△ABD的周长分别为18cm和12cm，则线段AE的长等于
    3
    cm．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，∠C=90°，BC=12，AB=13，则tanA的值是（　　）
    A、
    5
    12
    B、
    12
    5
    C、
    12
    13
    D、
    5
    13

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，a=
    		2
    ，b=
    		6
    ，c=2
    		2
    ，则最大边上的中线长为（　　）
    A、
    		2
    B、
    		3
    C、2
    D、以上都不对

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