Question

已知等边△ABC和⊙M.
（1）如图l，若⊙M与BA的延长线AK及边AC均相切，求证： AM∥BC;
（2）如图2，若⊙M与BA的延长线AK、BC的延长线CF及边AC均相切，求证：四边形ABCM是平行四边形．

Answer 1

证明见解析

证明：（1）连接AM，

∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠BAC=60°。
∴∠KAC=180°﹣∠BAC=120°。
∵⊙M与BA的延长线AK及边AC均相切，
∴∠KAM=∠CAM=∠KAC=×120°=60°。
∴∠KAM=∠B=60°。∴AM∥BC。
（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°。
∴∠KAC=180°﹣∠BAC=120°，∠FCA=120°。
∵⊙M与BA的延长线AK、BC的延长线CF及边AC均相切，
∴∠KAM=∠CAM=∠KAC=×120°=60°，
∠FCM=∠ACM=∠FCA=×120°=60°。
∴∠KAM=∠B=60°，∠FCM=∠B=60°。
∴AM∥BC，CM∥AB，∴四边形ABCM是平行四边形。
（1）由等边△ABC，即可得∠B=∠BAC=60°，求得∠KAC=120°，又由⊙M与BA的延长线AK及边AC均相切，利用切线长定理，即可得∠KAM=60°，然后根据同位角相等，两直线平行，证得AM∥BC。
（2）根据（1），易证得AM∥BC，CM∥AB，从而可证得四边形ABCM是平行四边形。