Question

已知如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是BC边上一点，DE⊥AC于E，连BE交AD与F．
（1）如果

BC

BD

=3，求

CE

AC

的值；
（2）如果

BC

BD

=3，求

EF

BF

的值；
（3）如果

BC

BD

=n，直接写出

EF

BF

的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理

专题：计算题

分析：（1）设AB=BC=3a，利用勾股定理求得AC．利用AB=BC，可得∠C=45°，再利用DE⊥AC于E，可得DE=CE=

2

a，然后根据

BC

BD

=3即可求得

CE

AC

的值；
（2）作EG⊥BC交AD于G，可得

EG

CD

=

AE

AC

=

2

3

，再利用

BC

BD

=3，即可求出

EF

BF

的值；
（3）根据

BC

BD

=n，可直接得出

EF

BF

的值．

解答：解：（1）设AB=BC=3a，
∵∠ABC=90°
∴AC=

AB2+BC2

=3

2

a，
又∵AB=BC，DE⊥AC于E
∴∠C=∠BAC=45°，∠EDC=45°，
∴DE=CE
∵

BC

BD

=3，
∴DE=CE=

2

a，
∴

CE

AC

=

1

3

．

（2）作EG⊥BC交AD于G，
∴

EG

CD

=

AE

AC

=

1

2

，
∵

BC

BD

=3，
∴

EG

BD

=

4

3

，
∴

EF

BF

=

EG

BD

=

4

3

，

（3）∵

BC

BD

=n，
∴

EF

BF

=

n2-1

2n

．

点评：此题主要考查勾股定理和相似三角形的判定与性质等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．