Question

6．已知，在菱形ABCD中，∠ADC=60°，点H为CD上任意一点（不与C、D重合），过点H作CD的垂线，交BD于点E，连接AE．

（1）如图1，说明线段EH、CH、AE之间的数量关系；
（2）如图2，将△DHE绕点D顺时针旋转，当点E、H、C在一条直线上时，说明线段EH、CH、AE之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）如图1，过E作EM⊥AD于M，由四边形ABCD是菱形，得到AD=CD，∠ADE=∠CDE，通过△DME≌△DHE，根据全等三角形的性质得到EM=EH，DM=DH，等量代换得到AM=CH，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图2，根据菱形的性质得到∠BDC=∠BDA=30°，DA=DC，在CH上截取HG，使HG=EH，推出△DEG是等边三角形，由等边三角形的性质得到∠EDG=60°，推出△DAE≌△DCG，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）EH²+CH²=AE²，
如图1，过E作EM⊥AD于M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，
∵EH⊥CD，
∴∠DME=∠DHE=90°，
在△DME与△DHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DME=∠DHE}\\{∠MDE=∠HDE}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△DME≌△DHE，
∴EM=EH，DM=DH，
∴AM=CH，
在Rt△AME中，AE²=AM²+EM²，
∴AE²=EH²+CH²；

（2）如图2，CH=AE+EH，
理由：∵菱形ABCD，∠ADC=60°，
∴∠BDC=∠BDA=30°，DA=DC，
∵EH⊥CD，
∴∠DEH=60°，
在CH上截取HG，使HG=EH，
∵DH⊥EG，∴ED=DG，
又∵∠DEG=60°，
∴△DEG是等边三角形，
∴∠EDG=60°，
∵∠EDG=∠ADC=60°，
∴∠EDG-∠ADG=∠ADC-∠ADG，
∴∠ADE=∠CDG，
在△DAE与△DCG中，$\left\{\begin{array}{l}{DA=DC}\\{∠ADE=∠CDG}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DCG，
∴AE=GC，
∵CH=CG+GH，
∴CH=AE+EH．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．