Question

已知，将边长为5的正方形ABCO放置在如图所示的直角坐标系中，使点A在x轴上，点C在y轴上．点M（t，0）在x轴上运动，过A作直线MC的垂线交y轴于点N．
（1）当t=1时，求直线MC的解析式；
（2）设△AMN的面积为S，求S关于t的函数解析式并写出相应t的取值范围；
（3）在该平面直角坐标系中取点P（2，y），是否存在以M、N、C、P为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意易得点C的坐标为：（0，5），点M的坐标为：（1，0），然后设直线MC的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线MC的解析式；
（2）由题意易证得△AON≌△CMO，即可得ON=OM，然后分别从t＞0，-5＜t＜0，t＜-5时分析求解，即可求得答案；
（3）分别从CN∥PM与MN∥CP时分析求解，根据直角梯形的性质，即可求得答案．

解答：解：（1）∵正方形ABCO的边长为5，
∴点C的坐标为：（0，5），
∵t=1，
∴点M的坐标为：（1，0），
设直线MC的解析式为：y=kx+b，
∴

b=5 k+b=0

，
解得：

k=-5 b=5

．
∴直线MC的解析式为：y=-5x+5；

（2）∵四边形OABC是正方形，
∴OA=OC，∠AON=∠COM=90°，
∵AN⊥MC，
∴∠NAO+∠CMO=90°，
∵∠NAO+∠ANO=90°，
∴∠ANO=∠CMO，
在△AON和△COM中，
∵

∠AON=∠COM ∠ANO=∠CMO OA=OC

，
∴△AON≌△CMO（AAS），
∴ON=OM=|t|，
∴①当t＞0时，AM=OA+OM=5+t，ON=t，
∴S=

1

2

t（t+5）=

1

2

t²+

5

2

t（t＞0），
②当-5＜t＜0时，AM=5+t，ON=-t，
∴S=-

1

2

t²-

5

2

t（-5＜t＜0），
③当t＜-5时，AM=5-t，ON=-t，
∴S=

1

2

t²+

5

2

t （t＜-5）；

（3）如图①，当CN∥PM时，
∵∠CNM≠90°，
∴∠PCN=90°，
∴P₁（2，5）；
如图②，当MN∥CP时，
∵ON=OM，
∴直线MN的比例系数为-1，
∴设直线PC的解析式为：y=-x+b，
∵点C（0，5），
∴直线PC的解析式为：y=-x+5，
当x=2时，y=3，
∴P₂（2，3）．
故P₁（2，5），P₂（2，3）．

点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数的解析式以及直角梯形的性质．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．