Question

15．如图，已知AB为⊙O的直径，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是⊙O上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BD、OD．
（1）求证：△ACH∽△AFC；
（2）猜想：AH•AF与AE•AB的数量关系，并说明你的猜想；
（3）当AE=$\frac{1}{8}$AB时，S_△AEC：S_△BOD=1：4．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理得弧AC=弧AD，再根据圆周角定理得到∠F=∠ACD，又∠CAH=∠FAC，根据相似三角形的判定即可得到△ACH∽△AFC；
（2）连BF，根据直径所对的圆周角为直角得∠AFB=90°，则∠AFB=∠AEH=90°，而∠EAH=∠FAB，根据相似三角形的判定得到Rt△AEH∽Rt△AFB，则有AE：AF=AH：AB，变形得到AH•AF=AE•AB；
（3）根据三角形面积公式S_△ACE=$\frac{1}{2}$AE•CE，S_△BOD=$\frac{1}{2}$DE•OB，若S_△AEC：S_△BOD=1：4，则$\frac{1}{2}$DE•OB=4×$\frac{1}{2}$AE•CE，即DE•OB=4CE•AE，由直径AB⊥CD，根据垂径定理得CE=DE，则有OB=4AE，所以AB=8AE，即AE=$\frac{1}{2}$AB，

解答 （1）证明：∵直径AB⊥CD，
∴弧AC=弧AD，
∴∠F=∠ACD，
而∠CAH=∠FAC，
∴△ACH∽△AFC；

（2）解：AH•AF=AE•AB．理由如下：
连BF，如图．
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFB=∠AEH=90°，
而∠EAH=∠FAB，
∴Rt△AEH∽Rt△AFB，
∴AE：AF=AH：AB，
即AH•AF=AE•AB；

（3）解：当AE=$\frac{1}{8}$AB时，S_△AEC：S_△BOD=1：4．理由如下：
∵S_△ACE=$\frac{1}{2}$AE•CE，S_△BOD=$\frac{1}{2}$DE•OB，S_△AEC：S_△BOD=1：4，
∴$\frac{1}{2}$DE•OB=4×$\frac{1}{2}$AE•CE，即DE•OB=4CE•AE，
∵直径AB⊥CD，
∴CE=DE，
∴OB=4AE，
∴AB=8AE，即AE=$\frac{1}{8}$AB．
故答案为$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了圆的综合题：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角；有两组角对应相等的三角形相似；运用三角形相似的知识证明等积式是常用的方法．