Question

10．如图，AB为圆O的直径，点C、E在圆上，且点E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，点F在OE的延长线上，且∠BCF=∠BAC，BC=8，DE=2．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径；
（3）求CF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，利用同圆的半径相等和直径所对的圆周角为直角得∠OCF=90°，CF是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，根据勾股定理列方程解出即可；
（3）证明△OCD∽△CFD，列比例式可求CF的长．

解答 证明：（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠1，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=∠1+∠2=90°，
∴∠A+∠2=90°，
∵∠A=∠3，
∴∠2+∠3=90°，即∠OCF=90°，
∴CF是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，则OC=r，OD=r-2，
∵E是$\widehat{BC}$的中点，
∴OD⊥BC，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4，
由勾股定理得：r²=4²+（r-2）²，
r=5，
则⊙O的半径为5；
（3）∵∠2+∠3=90°，∠COF+∠2=90°，
∴∠3=∠COF，
∵∠CDO=∠CDF=90°，
∴△OCD∽△CFD，
∴$\frac{OC}{CF}=\frac{OD}{CD}$，
∴$\frac{5}{CF}$=$\frac{5-2}{4}$，
∴CF=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定和垂径定理等知识点，证明某线是圆的切线是常考题型，思路为已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可；在圆中求线段的长有两种常用的方法，一个是勾股定理；另一个是证明所在的三角形相似，利用比例式求解．