Question

已知关于x的方程x²+（m+2）x+2m-1=0（m为实数），
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数并求出此时方程的解．

Answer 1

分析：（1）只要证得△=b²-4ac＞0，就说明方程有两个不相等的实数根．
（2）方程的两根互为相反数，说明m+2=0，从而求得m的值，再代入原方程求出此时方程的解．

解答：（1）证明：∵a=1，b=m+2，c=2m-1，
∴△=b²-4ac=（m+2）²-4（2m-1）=（m-2）²+4
∵（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4＞0
即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．

（2）解：∵方程两根互为相反数，
∴两根之和=-（m+2）=0，
解得m=-2
即当m=-2时，方程两根互为相反数．
当m=-2时，原方程化为：x²-5=0，
解得：x₁=

5

，x₂=-

5

．

点评：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①△＞0?方程有两个不相等的实数根；
②△=0?方程有两个相等的实数根；
③△＜0?方程没有实数根．
（2）解题时注意方程两根互为相反数，说明b=0．