Question

（2012•利川市一模）折纸与证明---用纸折出黄金分割点：
第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．
第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）

Answer 1

分析：连接GF，设正方形的边长为1，由折纸第一步，可知DF=

1

2

，在Rt△BCF中，根据勾股定理得出BF=

5

2

，则A′F=

5

2

-1．设AG=A'G=x，则GD=1-x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，根据勾股定理由GF不变得出A′F²+A′G²=DF²+DG²，列出关于x的方程，解方程求出x=

5 -1

2

，即可说明点G是AD的黄金分割点．

解答：证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=

1

2

．
在Rt△BCF中，BF=

BC2+CF2

=

5

2

，
则A′F=BF-BA′=

5

2

-1．
设AG=A′G=x，则GD=1-x，
在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F²+A'G²=DF²+DG²，
即(

5

2

-1)2+x2=(

1

2

)2+(1-x)2，
解得x=

5 -1

2

，
即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．

点评：本题考查黄金分割的概念：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．