【题目】如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD为AB边上的中线,点E、F分别在AC、BC边上,且ED⊥DF.
(1)求证:△CDE≌△BDF;
(2)如图2,作EG⊥AB于G,FH⊥AB于H,求证:EG+FH=CD.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】
试题
(1)由已知条件易证CD=BD,∠CDE=∠BDF,∠DCE=∠B=45°,从而可得△CDE≌△BDF;
(2)由(1)中所证△CDE≌△BDF可得DE=DF,由已知条件易证∠EGD=∠DHF=90°,∠DEG=∠FDH,由此可证得△DEG≌△FDH,从而可得:EG=DH;再证△BFH是等腰直角三角形得到FH=BH,即可得到所求结论.
试题解析:
(1)∵ 在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD为AB上的中线,
∴ CD=BD,∠DCE=∠B=45°,∠CDB=90°.
∵ ED⊥DF,
∴ ∠EDF=90°,
∴ ∠CDE+∠CDF=∠BDF+∠CDF=90°
∴ ∠CDE=∠BDF.
∴ △CDE≌△BDF(ASA).
(2)如图4.2,由(1)知,△CDE≌△BDF,
∴ DE=DF,∠1=∠2.
∵ EG⊥AB,FH⊥AB,CD⊥AB,∠B=45°,
∴∠EGD=∠DHF=∠BHF=90°, EG∥CD,
∴ ∠1=∠3,△BFH为等腰直角三角形,
∴ ∠3=∠2,FH=BH,
∴ △DEG≌△FDH(AAS).
∴ EG=DH.
∴ EG+FH=DH+FH=DH+BH=BD.
∵ 由(1)可知BD=CD,
∴ EG+FH=CD.
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【题目】如图,已知在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论:
①BD=CE;②∠ACE+∠DBC=45°;③BD⊥CE;④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于D,AE平分∠BAD,交BC于E,在△ABC外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC.
(1)求证:BE=CF;
(2)在AB上取一点M,使得BM=2DE,连接ME
①求证:ME⊥BC;
②求∠EMC的度数.
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【题目】如图,已知△ABC与△DEF分别是等边三角形和等腰直角三角形,AC与DF交于点G,AD与FC分别是△ABC和△DEF的高,线段BC,DE在同一条直线上,则下列说法不正确的是( )
A.△AGD∽△CGF
B.△AGD∽△DGC
C. =3
D. =
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【题目】已知在△ABC中,∠BAC=90°,过点C的直线EF∥AB,D是BC上一点,连接AD,过点D分别作GD⊥AD,HD⊥BC,交EF和AC于点G,H,连接AG.
(1)当∠ACB=30°时,如图1所示.
①求证:△GCD∽△AHD;
②试判断AD与DG之间的数量关系,并说明理由;
(2)当tan∠ACB= 时,如图2所示,请你直接写出AD与DG之间的数量关系.
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【题目】已知:如图,△ABC是等边三角形,BD⊥AC,E是BC延长线上的一点,且∠CED=30°.
(1)求证:DB=DE.
(2)在图中过D作DF⊥BE交BE于F,若CF=3,求△ABC的周长.
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【题目】(1)如图①,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.
(2)如图②,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线BD上两点,且∠EAF=45°,将△ADF绕点A顺时针旋转90°后,得到△ABQ,连接EQ,求证:
(1)EA是∠QED的平分线;
(2)EF2=BE2+DF2 .
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