Question

如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．

（1）抛物线y=x²对应的碟宽为　 　；抛物线y=4x²对应的碟宽为　 　；抛物线y=ax²（a＞0）对应的碟宽为　 　；抛物线y=a（x﹣2）²+3（a＞0）对应的碟宽为　 　；

（2）抛物线y=ax²﹣4ax﹣（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；

（3）将抛物线y=a_nx²+b_nx+c_n（a_n＞0）的对应准蝶形记为F_n（n=1，2，3…），定义F₁，F₂，…，F_n为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若F_n与F_n﹣1的相似比为，且F_n的碟顶是F_n﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y₁，其对应的准蝶形记为F₁．

①求抛物线y₂的表达式；

②若F₁的碟高为h₁，F₂的碟高为h₂，…F_n的碟高为h_n，则h_n=　 　，F_n的碟宽有端点横坐标为　  　；F₁，F₂，…，F_n的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．

Answer 1

解：（1）4；1；；．

分析如下：

∵a＞0，

∴y=ax²的图象大致如下：

其必过原点O，记AB为其碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB．

∵△DAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，

∴OC⊥AB，

∴∠OCA=∠OCB=∠AOB=90°=45°，

∴△ACO与△BCO亦为等腰直角三角形，

∴AC=OC=BC，

∴x_A=y_A，x_B=y_B，代入y=ax²，

∴A（﹣，），B（，），C（0，），

∴AB=，OC=，

即y=ax²的碟宽为．

①抛物线y=x²对应的a=，得碟宽为4；

②抛物线y=4x²对应的a=4，得碟宽为为；

③抛物线y=ax²（a＞0），碟宽为；

④抛物线y=a（x﹣2）²+3（a＞0）可看成y=ax²向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，

∵平移不改变形状、大小、方向，

∴抛物线y=a（x﹣2）²+3（a＞0）的准碟形≌抛物线y=ax²的准碟，

∵抛物线y=ax²（a＞0），碟宽为，

∴抛物线y=a（x﹣2）²+3（a＞0），碟宽为．

（2）∵y=ax²﹣4ax﹣=a（x﹣2）²﹣（4a+），

∴同（1），其碟宽为，

∵y=ax²﹣4ax﹣的碟宽为6，

∴=6，

解得 a=，

∴y=（x﹣2）²﹣3．

（3）①∵F₁的碟宽：F₂的碟宽=2：1，

∴，

∵a₁=，

∴a₂=．

∵y=（x﹣2）²﹣3的碟宽AB在x轴上（A在B左边），

∴A（﹣1，0），B（5，0），

∴F₂的碟顶坐标为（2，0），

∴y₂=（x﹣2）²．

②∵F_n的准碟形为等腰直角三角形，

∴F_n的碟宽为2h_n，

∵2h_n：2h_n﹣1=1：2，

∴h_n=h_n﹣1=（）²h_n﹣2=（）³h_n﹣3=…=（）ⁿ⁺¹h₁，

∵h₁=3，

∴h_n=．

∵h_n∥h_n﹣1，且都过F_n﹣1的碟宽中点，

∴h₁，h₂，h₃，…，h_n﹣1，h_n都在一条直线上，

∵h₁在直线x=2上，

∴h₁，h₂，h₃，…，h_n﹣1，h_n都在直线x=2上，

∴F_n的碟宽右端点横坐标为2+．

另，F₁，F₂，…，F_n的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=﹣x+5．

分析如下：

考虑F_n﹣2，F_n﹣1，F_n情形，关系如图2，

F_n﹣2，F_n﹣1，F_n的碟宽分别为AB，DE，GH；C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线x=2上，连接右端点，BE，EH．

∵AB∥x轴，DE∥x轴，GH∥x轴，

∴AB∥DE∥GH，

∴GH平行相等于FE，DE平行相等于CB，

∴四边形GFEH，四边形DCBE都为平行四边形，

∴HE∥GF，EB∥DC，

∵∠GFI=•∠GFH=•∠DCE=∠DCF，

∴GF∥DC，

∴HE∥EB，

∵HE，EB都过E点，

∴HE，EB在一条直线上，

∴F_n﹣2，F_n﹣1，F_n的碟宽的右端点是在一条直线，

∴F₁，F₂，…，F_n的碟宽的右端点是在一条直线．

∵F₁：y₁=（x﹣2）²﹣3准碟形右端点坐标为（5，0），

  F₂：y₂=（x﹣2）²准碟形右端点坐标为（2+，），

∴待定系数可得过两点的直线为y=﹣x+5，

∴F₁，F₂，…，F_n的碟宽的右端点是在直线y=﹣x+5上．