Question

（1）已知：如图1，在矩形ABCD中，AF=BE．求证：DE=CF；
（2）已知：如图2，⊙O的半径为3，弦AB的长为4．求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）证DE=CF其实就是证明三角形DAE和CBF全等．这两个三角形中，已知的条件有∠A=∠B=90°，AD=BC，只要再得出AE=BF即可证得两三角形全等．AF=BE两边都加上EF后，AE=BF．由此可得出两三角形全等；
（2）可通过构建三角形来求解．过点O作OC⊥AB，垂足为C，那么AC=BC，在直角三角形OAC中，有AC的值，有OA的值，就能求出OC和sinA了．

解答：证明：（1）∵AF=BE，EF=EF，∴AE=BF，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，AD=BC，
∴△DAE≌△CBF，
∴DE=CF；

解：（2）过点O作OC⊥AB，垂足为C，则有AC=BC，
∵AB=4，∴AC=2，
在Rt△AOC中，
OC=

OA2-AC2

=

32-22

=

5

，
sinA=

OC

OA

=

5

3

．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和解直角三角形等综合知识．判定两个三角形全等，可先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．解直角三角形的过程中，没有直角三角形的可通过构建直角三角形来求解．