Question

如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；

（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.

 

Answer 1

解：（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,－1)

∴

 解得： b=－  c=－1

∴二次函数的解析式为 

（2）设点D的坐标为（m，0） （0＜m＜2）

∴ OD=m   ∴AD=2-m

由△ADE∽△AOC得，

∴

∴DE=

∴△CDE的面积=××m

==

当m=1时，△CDE的面积最大

∴点D的坐标为（1，0）

（3）存在  由(1)知：二次函数的解析式为

设y=0则 解得：x₁=2  x₂=－1

∴点B的坐标为（－1，0）  C（0，－1）

设直线BC的解析式为：y=kx＋b

∴   解得：k=-1  b=-1

∴直线BC的解析式为: y=－x－1

在Rt△AOC中，∠AOC=90⁰  OA=2  OC=1

由勾股定理得：AC=

∵点B(－1,0)  点C（0，－1）

∴OB=OC  ∠BCO=45⁰

①当以点C为顶点且PC=AC=时，

设P(k, －k－1)

过点P作PH⊥y轴于H

∴∠HCP=∠BCO=45⁰

CH=PH=∣k∣  在Rt△PCH中

k²+k²=  解得k₁=， k₂=－

∴P₁（，－） P₂（－，）

②以A为顶点，即AC=AP=

设P(k, －k－1)

过点P作PG⊥x轴于G

AG=∣2－k∣  GP=∣－k－1∣

在Rt△APG中  AG²＋PG²=AP²

（2－k)²+(－k－1)²=5

解得：k₁=1,k₂=0(舍)

∴P₃(1, －2)

③以P为顶点，PC=AP设P(k, －k－1)

过点P作PQ⊥y轴于点Q

PL⊥x轴于点L

∴L(k,0)

∴△QPC为等腰直角三角形

  PQ=CQ=k

由勾股定理知

CP=PA=k                                                                 

∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜

在Rt△PLA中

(k)²=(k－2)²＋(k＋1)²

解得：k=∴P₄(,－)

综上所述： 存在四个点：P₁（，－） 

P₂（-，）   P₃(1, －2)    P₄(,－)