Question

3．请完成下列的相似测试．
如图，在△ABC中，AB=AC=4，D是AB上一点，且BD=1，连接CD，然后作∠CDE=∠B，交平行于BC且过点A的直线于点E，DE交AC于点F，连接CE．
（1）求证：△AFD∽△EFC；
（2）试求AE•BC的值．

Answer 1

分析 （1）先根据两角对应相等，判定△AEF∽△DCF，得出两边对应成比例，再根据∠AFD=∠EFC，判定△AFD∽△EFC；
（2）先根据两角对应相等，判定△ACE∽△BCD，再根据相似三角形对应边成比例，得出$\frac{AE}{BD}$=$\frac{AC}{BC}$，最后根据AC=4，BD=1，求得AE•BC的值．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
又∵∠CDE=∠B，
∴∠CDE=∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠ACB=∠CAE，
∴∠CDE=∠CAE，
又∵∠AFE=∠DFC，
∴△AEF∽△DCF，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{EF}{CF}$，即$\frac{AF}{EF}$=$\frac{DF}{CF}$，
又∵∠AFD=∠EFC，
∴△AFD∽△EFC；

（2）∵△AFD∽△EFC，
∴∠ACE=∠ADF，
又∵∠ADF+∠BDC=180°-∠FDC，∠BCD+∠BDC=180°-∠B，
而∠CDE=∠B，
∴∠ADF=∠BCD，
∴∠ACE=∠BCD，
又∵∠B=∠ACB=∠CAE，
∴△ACE∽△BCD，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{AC}{BC}$，即AE•BC=BD•AC，
∵AC=4，BD=1，
∴AE•BC=1×4=4．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是掌握：有两角对应相等的两个三角形相似．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．