△ABC中.AC=BC.点D.P分别在边AB.AC上.DP∥BC.将△ADP绕点A顺时针旋转得到△AEF．(1)当点E在BC上时.连接CF.①如图1.∠BAC=45°.线段CF.AB的位置关系是CF∥AB,②如图2.∠BAC=60°.此时CF.AB还满足①中的位置关系吗?若满足.请证明你的结论,若不满足.请说明理由,(2)若∠BAC=β.AC=b.在△ADP绕点A顺时针旋转� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

20．△ABC中，AC=BC，点D，P分别在边AB，AC上（点D不与点A，点B重合），DP∥BC，将△ADP绕点A顺时针旋转得到△AEF．

（1）当点E在BC上时，连接CF，
①如图1，∠BAC=45°，线段CF，AB的位置关系是CF∥AB；
②如图2，∠BAC=60°，此时CF，AB还满足①中的位置关系吗？若满足，请证明你的结论；若不满足，请说明理由；
（2）若∠BAC=β，AC=b，在△ADP绕点A顺时针旋转过程中，点E第一次落在射线BC上时，连接CF，此时CF，AB还满足（1）①中的位置关系吗？若满足，请证明你的结论，并直接写出AD的取值范围（用含β，b的式子表示），若不满足，请说明理由．

分析（1）由等腰直角三角形的性质得$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{2}$且∠BAE=∠CAF，证△ABE∽△ACF得∠ACF=∠B=∠BAC=45°，即可得证；
（2）证△APD是等边三角形，结合△AEF≌△ADP知∠1=∠2、AE=AF，再证△BAE≌△CAF可得∠B=∠3=60°，即可知∠3=∠BAC=60°，从而得证；
（3）分45°≤β＜90°和0＜β＜45°两种情况，由$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$、∠BAE=∠CAF证△BAE∽△CAF可得，作AG⊥BC、CH⊥AB，由AB≤AD＜AG，解直角三角形可得AD范围．

解答解：（1）如图1，当∠BAC=45°时，
∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∴∠ACB=90°，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{2}$，
∵DP∥BC，
∴∠B=∠ADP=45°，
∴∠APD=90°，
∴△APD为等腰直角三角形，
由△ADP≌△AEF知△AEF为等腰直角三角形，∠APD=∠AFE=90°，∠DAP=∠EAF，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{2}$，且∠BAE=∠CAF，
∴△ABE∽△ACF，
∴∠ACF=∠B=∠BAC=45°，
∴CF∥AB，
故答案为：CF∥AB；

（2）满足，
如图2，

∵AB=AC，∠B=∠ACB=60°，
又∵DP∥BC，
∴∠APD=∠PDA=∠B=60°，
∴△APD是等边三角形，
由旋转知△AEF≌△ADP，∠1=∠2，
∴AE=AF，
在△BAE和△CAF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠1=∠2}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAF，
∴∠B=∠3=60°，
∴∠3=∠BAC=60°，
∴CF∥AB；

（3）满足，
当45°≤β＜90°时，
∵DP∥BC，
∴△ADP∽△ABC，
∵△ADP≌△AEF，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，
由（2）知∠BAE=∠CAF，
∴△BAE∽△CAF，
∴∠B=∠ACF，
∴∠BAC=∠ACF，
∴CF∥AB，
如图3，过点A作AG⊥BC于点G，过点C作CH⊥AB于H

∵BC=AC、∠BAC=β，
∴∠ABC=∠BAC=β，AB=2AH，
∴∠ACG=180°-2β，
∴AG=ACsin∠ACG=bsin（180°-2β），
AB=2AH=2ACcos∠CAH=2bcosβ，
则bsin（180°-2β）≤AD＜2bcosβ；
当0＜β＜45°，同理可证CF∥AB，
如图4，过点A作AG⊥BC，交BC延长线于点G，过点C作CH⊥AB于H，

∵BC=AC、∠BAC=β，
∴∠ABC=∠BAC=β，AB=2AH，
∴∠ACG=2β，
∴AG=ACsin∠ACG=bsin2β，
AB=2AH=2ACcos∠CAH=2bcosβ，
则bsin2β≤AD＜2bcosβ．

点评本题主要考查几何变换的综合题，熟练掌握等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及相似三角形和全等三角形的判定与性质是解题的关键．

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