Question

已知实数a，b，c满足关系式|a-2|+（b-3）²=0，（c-4）²≤0．
（1）求a，b，c的值，并在平面直角坐标系中，描出点A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），请用含m的式子表示三角形POA的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用非负数的性质求得a，b，c的值，然后通过描点法作图；
（2）过点P作PD⊥y轴，然后由三角形的面积公式进行求解；
（3）由平行四边形的面积公式和三角形的面积公式得到3-m=6，据此易求m=-3．则P（-3，1）．

解答：解：（1）∵|a-2|+（b-3）²=0，（c-4）²≤0，
∴a-2=0，b-3=0，c-4=0，
∴a=2，b=3，c=4，
∴点A、B、C在平面直角坐标系中的位置如1图所示．

（2）如图2，过点P作PD⊥y轴，则PD=-m，
故三角形POA的面积=

1

2

OA•PD=

1

2

×2×（-m）=-m，即三角形POA的面积是-m；

（3）存在．理由如下：如图2，过点A做AE⊥BC于点E．则AE=3．
故△ABC的面积是6．
∵S_{四边形ABOP}=S_△AOB+S_△AOP=3-m，
∴设存在点P使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等，即3-m=6，
解得m=-3，
∴P（-3，1）．

点评：本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积公式，难度较大，关键根据题意画出图形，认真分析解答．