Question

5．一个非零自然数a，若它恰好是另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数，如9=3²，则9就是一个完全平方数．已知a=2007²+2007²×2008²+2008²，试说明a是一个完全平方数．

Answer 1

分析 考虑到2007²、2008²都是数值较大的数，计算起来很不方便，因此可采用换元法，设x=2007，则2008=2007+1=x+1，然后再根据所设及题意对原式进行变形配成完全平方式．

解答 解：设x=2007，则2008=2007+1=x+1，
故有：a=x²+x²（x+1）²+（x+1）²
=x²-2x（x+1）+（x+1）²+2x（x+1）+x²（x+1）²
=[x-（x+1）]²+2x（x+1）+x²（x+1）²
=1+2x（x+1）+x²（x+1）²
=[1+x（x+1）]²
=[1+x+x²]²
=（1+2007+2007²）²
=4030057²．
故a是一个完全平方数．

点评 本题考查了完全平方数，主要考查了分解因式，解本题的关键是分解因式，在计算中巧用换元法灵活应用公式可化繁为简，起到简便计算的作．