Question

18．在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 首先根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，判断出BO=2OE，进而求出S_△DOE、S_△BDE的大小；然后根据点D是BC的中点，判断出S_△CDE=S_△BDE，进而求出S_△BCE的大小；最后根据点E是AC的中点，判断出S_△ABE=S_△BCE，进而求出S_△ABC的大小即可．

解答 解：如图，连接DE，，
∵中线AD、BE相交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
∴BO=2OE，
∴S_△DOE=$\frac{1}{2}$S_△BOD=$\frac{1}{2}×5$=$\frac{5}{2}$，
∴S_△BDE=5$+\frac{5}{2}=\frac{15}{2}$，
∵点D是BC的中点，
∴BD=DC，
∴S_△CDE=S_△BDE，
∴S_△BCE=$\frac{15}{2}+\frac{15}{2}=15$，
∵点E是AC的中点，
∴AE=CE，
∴S_△ABE=S_△BCE，
∴S_△ABC=15×2=30，
即△ABC的面积是30．

点评 （1）此题主要考查了三角形的重心的判断和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
（2）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个三角形的高一定时，它们面积的比等于它们底边的长度的比．