Question

13．如图，小强作出边长为1的第1个等边△A₁B₁C₁，计算器面积为S₁，然后分别取△A₁B₁C₁三边的中点A₂、B₂、C₁，作出第2个等边△A₂B₂C₂，计算其面积为S₂，用同样的方法，作出第3个等边△A₃B₃C₃，计算其面积为S₃，按此规律进行下去，…，由此可得，第20个等边△A₂₀B₂₀C₂₀的面积S₂₀=$\frac{\sqrt{3}}{{4}^{20}}$．

Answer 1

分析 根据相似三角形的性质，先求出正△A₂B₂C₂，正△A₃B₃C₃的面积，依此类推△A_nB_nC_n的面积是$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{1}{4}$）^n-1，从而求出第20个正△A₂₀B₂₀C₂₀的面积．

解答 解：正△A₁B₁C₁的面积是$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
而△A₂B₂C₂与△A₁B₁C₁相似，并且相似比是1：2，
则面积的比是$\frac{1}{4}$，则正△A₂B₂C₂的面积是$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$\frac{1}{4}$；
因而正△A₃B₃C₃与正△A₂B₂C₂的面积的比也是，面积是$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\frac{1}{4}$）²；
依此类推△A_nB_nC_n与△A_n-1B_n-1C_n-1的面积的比是$\frac{1}{4}$，第n个三角形的面积是$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{1}{4}$）^n-1．
所以第20个正△A₂₀B2₀C₂₀的面积是$\frac{\sqrt{3}}{{4}^{20}}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{{4}^{20}}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质及应用，相似三角形面积的比等于相似比的平方，找出规律是关键．