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【题目】如图,为了测量山坡上一棵树PQ的高度,小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为450 ,然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达B点处,此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是600300,设PQ垂直于AB,且垂足为C.

(1)求∠BPQ的度数;

(2)求树PQ的高度(结果精确到0.1m,

【答案】(1)BPQ=30°;(2)树PQ的高度约为15.8m.

【解析】 (1)根据题意题可得:∠A=45°,PBC=60°,QBC=30°,AB=100m,在RtPBC中,根据三角形内角和定理即可得∠BPQ度数;

(2)设CQ=x,在RtQBC中,根据30度所对的直角边等于斜边的一半得BQ=2x,由勾股定理得BC=x;根据角的计算得∠PBQ=BPQ=30°,由等角对等边得PQ=BQ=2x,用含x的代数式表示PC=PQ+QC=3x,AC=AB+BC=10+x,又∠A=45°,得出AC=PC,建立方程解之求出x,再将x值代入PQ代数式求之即可.

(1)依题可得:∠A=45°,PBC=60°,QBC=30°,AB=10m,

RtPBC中,

∵∠PBC=60°,PCB=90°,

∴∠BPQ=30°;

(2)设CQ=x,

RtQBC中,

∵∠QBC=30°,QCB=90°,

BQ=2x,BC=x,

又∵∠PBC=60°,QBC=30°,

∴∠PBQ=30°,

由(1)知∠BPQ=30°,

PQ=BQ=2x,

PC=PQ+QC=3x,AC=AB+BC=10+x,

又∵∠A=45°,

AC=PC,

3x=10+x,

解得:x=

PQ=2x=≈15.8(m),

答:树PQ的高度约为15.8m.

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