【题目】如图,为了测量山坡上一棵树PQ的高度,小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为450 ,然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达B点处,此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是600和300,设PQ垂直于AB,且垂足为C.
(1)求∠BPQ的度数;
(2)求树PQ的高度(结果精确到0.1m, )
【答案】(1)∠BPQ=30°;(2)树PQ的高度约为15.8m.
【解析】 (1)根据题意题可得:∠A=45°,∠PBC=60°,∠QBC=30°,AB=100m,在Rt△PBC中,根据三角形内角和定理即可得∠BPQ度数;
(2)设CQ=x,在Rt△QBC中,根据30度所对的直角边等于斜边的一半得BQ=2x,由勾股定理得BC=x;根据角的计算得∠PBQ=∠BPQ=30°,由等角对等边得PQ=BQ=2x,用含x的代数式表示PC=PQ+QC=3x,AC=AB+BC=10+x,又∠A=45°,得出AC=PC,建立方程解之求出x,再将x值代入PQ代数式求之即可.
(1)依题可得:∠A=45°,∠PBC=60°,∠QBC=30°,AB=10m,
在Rt△PBC中,
∵∠PBC=60°,∠PCB=90°,
∴∠BPQ=30°;
(2)设CQ=x,
在Rt△QBC中,
∵∠QBC=30°,∠QCB=90°,
∴BQ=2x,BC=x,
又∵∠PBC=60°,∠QBC=30°,
∴∠PBQ=30°,
由(1)知∠BPQ=30°,
∴PQ=BQ=2x,
∴PC=PQ+QC=3x,AC=AB+BC=10+x,
又∵∠A=45°,
∴AC=PC,
即3x=10+x,
解得:x=,
∴PQ=2x=≈15.8(m),
答:树PQ的高度约为15.8m.
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【题目】等腰△ABD中,AD=BD,将△ABD绕腰BD的中点顺时针旋转180°,得到△CDB,CE平分∠BCD交BD于点E,在BC的延长线上取点F,使CF=DE,连接EF交CD于点G.
(1)如图1,∠A=60°,AB=4,求CF的长;
(2)如图2,求证:DE=2CG.
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【题目】若平面直角坐标系中,两点关于过原点的一条直线对称,则这两点就是互为镜面点,这条直线叫镜面直线,如A(2,3)和B(3,2)是以y=x为镜面直线的镜面点.
(1)M(4,1)和N(﹣1,﹣4)是一对镜面点,则镜面直线为_____;
(2)以y=x为镜面直线,E(﹣2,0)的镜面点为_____.
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【题目】在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(3,0)和点B(4,3).
(1)求二次函数的表达式;
(2)求二次函数图象的顶点坐标和对称轴.
(3)直接画出函数的图象(不列表).
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【题目】某商品的进价为每件20元,售价为每件30元,每个月可卖出180件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月就会少卖出10件,但每件售价不能高于35元,设每件商品的售价上涨x元(x为整数),每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;求x为何值时y的值为1920?
(2)每件商品的售价为多少元时,每个月可获得最大利润?最大利润是多少?
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【题目】如图,抛物线y= x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为a,E.F分别是边AD、BC的中点,点G在CD上.且,DF、EG相交于点H.
(1)求出的值;
(2)求证:EG⊥DF;
(3)过点H作MN∥CD,分别交AD、BC于点M、N,点P是MN上一点,当点P在什么位置时,△PDC的周长最小,并求△PDC周长的最小值.
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【题目】比较A组、B组中两组数据的平均数及方差,一下说法正确的是( )
A.A组,B组平均数及方差分别相等B.A组,B组平均数相等,B组方差大
C.A组比B组的平均数、方差都大D.A组,B组平均数相等,A组方差大
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【题目】打折前,买20件A商品和30件B商品要用2200元,买50件A商品和10件B商品要用2900元.若打折后,买40件A商品和40件B商品用了3240元,比不打折少花多少钱?
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