Question

如图，在△ABC中，分别以AB、AC为边作等边△ABD与等边△ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，连接AF，有以下四个结论：
①BE=CD；②FA平分∠EFC；③FE=FD；④FE+FC=FA．
其中正确的结论有

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：连接AF，在AF上找到点G使得FG=EF，易证△BAE≌△DAC，可得BE=CD，①正确；易证A、E、F、C四点共圆，根据AE=AC，可得FA平分∠EFC，②正确；易证△AGE≌△CFE，可得AG=CF，即可求得AF=CF+EF，④正确；

解答：解：连接AF，在AF上找到点G使得FG=EF，

∵∠BAE+∠DAE=60°，∠CAD+∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，

AB=AD ∠BAE=∠DAC AE=AC

，
∴△BAE≌△DAC，（SAS）
∴BE=CD，①正确；
∠BEA=∠ACD，
∵∠AEB+∠AEF=180°，
∴∠AEF+∠ACF=180°，
∴A、E、F、C四点共圆，
∴∠EFC=120°，
∵AE=AC，
∴∠AFC=∠AFE，即FA平分∠EFC，②正确；
∵FG=EF，∠AFE=60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴EF=EG，
∵∠AEG+∠CEG=60°，∠CEG+∠CEF=60°，
∴∠AEG=∠CEF，
在△AGE和△CFE中，

AE=AC ∠AEG=∠CEF EG=EF

，
∴△AGE≌△CFE（SAS），
∴AG=CF，
∵AF=AG+FG，
∴AF=CF+EF，④正确；
∵CF+EF=AF，CF+DF=CD，
CD≠AF，
∴FE=FD，③错误，
故答案为 ①②④．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了圆周角原理，本题中求证△BAE≌△DAC和△AGE≌△CFE是解题的关键．