Question

14．某农场拟建一个梯形饲养场ABCD，其中AD，CD分别靠现有墙DM，DN，其余用新墙砌成，墙DM长为9米，墙DN足够长，两面墙形成的角度为135°，新墙DE将饲养场隔成△CDE和矩形ABED两部分．已知新建墙体总长为30米．设AB=x米，梯形饲养场ABCD的面积为S米²．
（1）求S关于x的函数表达式；
（2）当x为何值时，饲料场ABCD的面积最大，并求出最大面积．

Answer 1

分析 （1）根据矩形和等腰直角三角形的性质得出AB=DE=CE=x米，AD=BE=30-3x米，再由矩形和三角形的面积公式可得S关于x的函数解析式；
（2）由墙DM长为9米得出x的取值范围，再将函数解析式配方成顶点式，根据二次函数的性质可得最值情况．

解答 解：（1）∵四边形ABED是矩形，
∴AB=CE=x米，∠ADE=∠DEC=90°，
∵∠ADC=135°，
∴∠EDC=∠DCE=45°，
∴CE=DE=x米，
∴BE=30-3x米，
∴S=x（30-3x）+$\frac{1}{2}$x²=-$\frac{5}{2}$x²+30x；

（2）∵30-3x≤9，
∴x≥7，
S=-$\frac{5}{2}$x²+30x=-$\frac{5}{2}$（x-6）²+90，
∵当x＞6时，S随x的增大而减小，
∴当x=7时，S_max=87.5，
答：当x=7时，饲料场ABCD的面积最大，最大面积为87.5平方米．

点评 本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握矩形和等腰直角三角形的性质得出函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．