已知点P(m.n)是抛物线y=-$\frac{1}{4}$x2-2上的一个动点.点A的坐标为．[特例探究](1)如图1.直线l过点Q且平行于x轴.过P点作PB⊥l.垂足为B.连接PA,①当m=0时.PA=1.PB=1,②当m=2时.PA=2.PB=2,[猜想验证](2)对于m取任意一实数.猜想PA与PB的大小关系.并证明你的猜想,[拓展应用]的结论解决下列问题:如图2.设点C的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．已知点P（m，n）是抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²-2上的一个动点，点A的坐标为（0，-3）．
【特例探究】
（1）如图1，直线l过点Q（0，-1）且平行于x轴，过P点作PB⊥l，垂足为B，连接PA；
①当m=0时，PA=1，PB=1；
②当m=2时，PA=2，PB=2；
【猜想验证】
（2）对于m取任意一实数，猜想PA与PB的大小关系，并证明你的猜想；
【拓展应用】
（3）请利用（2）的结论解决下列问题：
如图2，设点C的坐标为（2，-5），连接PC，问PA+PC是否存在最小值？如果存在，请说明理由，并求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

分析（1）①求得A、P、B的坐标即可求得；②求得A、P、B的坐标即可求得；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，设P（m，-$\frac{1}{4}$m²-2），则B（m，-1），然后根据两点间的距离公式计算出PA和PB，从而可判断它们相等；
（3）过点Q作QB∥x轴，过P点作PB⊥QB于B点，如图2，由PB=PA，根据两点之间线段最短，当点P、B、C共线时，此时P点的横坐标为2，然后计算对应的函数值即可得到P点坐标．

解答解：（1）①当m=0时，则P（0，n），
代入y=-$\frac{1}{4}$x²-2得，n=-2，
∴P（0，-2），
∴B点与Q点重合，
∵点A（0，-3），点Q（0，-1），
∴PA=1，PB=1；
②当m=2时，则P（2，n），
代入y=-$\frac{1}{4}$x²-2得，n=-3，
∴P（2，-3），
∵点A（0，-3），点Q（0，-1），
∴PA=$\sqrt{{2}^{2}+{0}^{2}}$=2，PB=2；
故答案为：1，1；2，2；
（2）猜想PA与PB相等．
理由如下：设P（m，-$\frac{1}{4}$m²-2），则B（m，-1），
∵PA=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{4}m-2+3）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m²+1，
PB=-1-（-$\frac{1}{4}$m²-2）=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴PA=PB．
（3）存在．
过点Q作QB∥x轴，过P点作PB⊥QB于B点，如图2，
∵PB=PA，
∴PA+PC=PB+PC，
当点P、B、C共线时，PB+PC最小，此时PC⊥QB，P点的横坐标为2，
当x=2时，y=-$\frac{1}{4}$x²-2=-$\frac{1}{4}$×4-2=-3，
即此时P点坐标为（2，-3）．

点评本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式是解题的关键．

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