分析 (1)把A点的坐标代入抛物线的解析式,求出b的值即可得到抛物线的解析式;
(2)由(1)可知抛物线的顶点坐标,因为G是EC中点,由此可求出G的纵坐标,代入抛物线的解析式可求出F和D的横坐标,进而可求出DF的长;
(3)四边形CDEF是正方形时可设E(2,2m),则F(2-m,m),把F点的坐标代入解析式即可求出m的值,进而可求出点E的坐标.
解答 解:(1)把(4,0)代入y=-x2+bx中,得b=4.
∴二次函数的表达式为y=-x2+4x.
(2)由(1)可知二次函数的图象的顶点坐标为(2,4),
∵G是EC的中点,
∴当y=2时,-x2+4x=2.
∴x1=2-$\sqrt{2}$,x2=2+$\sqrt{2}$,
∴DF=2+$\sqrt{2}$-(2-$\sqrt{2}$)=2$\sqrt{2}$.
(3)设E(2,2m),则F(2-m,m).
∵点F在抛物线上,
∴m=-(2-m)2+4(2-m).
∴m=$\frac{1±\sqrt{17}}{2}$,2m=-1±$\sqrt{17}$.
∴E1(2,-1+$\sqrt{17}$),E2=(2,-1-$\sqrt{17}$).
点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、解一元二次方程以及正方形的性质,题目的综合性较强,难度中等.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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x | … | -3 | -2 | -1 | -$\frac{1}{2}$ | -$\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | 1 | 2 | 3 | … |
y | … | $\frac{25}{6}$ | $\frac{3}{2}$ | -$\frac{1}{2}$ | -$\frac{15}{8}$ | -$\frac{53}{18}$ | $\frac{55}{18}$ | $\frac{17}{8}$ | $\frac{3}{2}$ | $\frac{5}{2}$ | m | … |
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