Question

如图，已知四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，且∠AOD=90°，若BC=2AD，AB=12，CD=9，四边形ABCD的周长是

 

．

Answer 1

分析：求四边形ABCD的周长，求得AD，BC长度即可，
在直角三角形AOB中，AO²+BO²=AB²，在直角三角形COD中，OC²+OD²=CD²，
在Rt△AOD和Rt△COB中，因为BC=2AD，所以

OB2+OC2

=2

OA2+OD2

，
根据该等量关系求OA²+OD²，即可求得AD的长度．

解答：解：在Rt△AOB中，AO²+BO²=AB²=12²；
在Rt△COD中，OC²+OD²=CD²=9²；
在Rt△AOD和Rt△COB中，
∵BC=2AD，∴

OB2+OC2

=2

OA2+OD2

，
整理计算得：

OA2+OD2

=3

5

，
所以AD=3

5

，BC=2AD=6

5

，
所以四边形ABCD的周长为9+12+3

5

+6

5

=21+9

5

．
故答案为21+9

5

．

点评：本题考查了在四边形中挖掘直角三角形，并且根据题目给出的已知条件列出等量关系式，解出AD的长度．