Question

【题目】在菱形ABCD中，∠ABC＝60°

(1)如图1，P是边BD延长线上一点，以AP为边向右作等边△APE，连接BE、CE.

①求证：CE⊥AD；

②若AB＝，BE＝，求AE的长；

(2)如图2，P是边CD上一点，点D关于AP的对称点为E，连接BE并延长交AP的延长线于点F，连接DE、DF.若BE＝11，DE＝5，求△ADF的面积.

Answer 1

【答案】(1)①证明见解析；②AE=；(2)△ADF的面积为.

【解析】

(1)①证△ADC和△ABC是等边三角形，再证△BAP≌△CAE，推出∠ACE＝30°，由∠ACE+∠CAD＝90°即可证明结论；

②如图1，设AC与BD交于点O，证∠BCE＝90°，由勾股定理求出CE，BP的长，由锐角三角函数等分别求出OA，OP的长，由勾股定理即可求出AP的长，即AE的长；

(2)如图2，连接AE，过点A作AH⊥BF于点H，证∠HAF＝∠BAD＝60°，再证△DEF为等边三角形，即可求出HF，AH的长，进一步求出△AEF的面积，证△ADF≌△AEF即可.

证明： (1)①在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，

∴∠ADC＝60°，且AB＝BC＝DA＝DC，

∴△ADC和△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠CAD＝60°，

又∵△APE是等边三角形，

∴AE＝AP，∠EAP＝60°，

∴∠BAC+∠CAP＝∠PAE+∠CAP，

即∠BAP＝∠CAE，

∴△BAP≌△CAE(SAS)，

∴∠ACE＝∠ABP＝∠ABC＝30°，

∵∠CAD＝60°，

∴∠ACE+∠CAD＝90°，

∴CE⊥AD；

②解：如图1，设AC与BD交于点O，

由①知，∠ACE＝30°，且∠ACB＝60°，

∴∠ACE+∠ACB＝∠BCE＝90°，

∵在Rt△BCE中，BC＝AB＝，BE＝，

∴CE＝＝4，

由①知，△BAP≌△CAE，

∴BP＝CE＝4，

在Rt△BOC中，∠ACB＝60°，

∴BO＝BC＝，CO＝AO＝BC＝，

∴OP＝BP﹣BO＝，

∴在Rt△AOP中，

AP＝＝＝，

∴AE＝AP＝；

(2)解：如图2，连接AE，过点A作AH⊥BF于点H，

∵点D关于AP的对称点为E，

∴AP垂直平分DE，

∴AD＝AE，FD＝FE，

∴∠EAF＝∠DAF＝∠EAD，∠DFA＝∠EFA＝∠DFE，

又∵在菱形ABCD中，AB＝AD，

∴AB＝AE，

∴AH垂直平分BE，

∴EH＝BH＝BE＝，∠BAH＝∠EAH＝∠BAE，

∴∠HAF＝∠EAH+∠EAF＝∠BAD，

∵∠ABC＝60°，

∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，

∴∠HAF＝60°，

∴∠AFH＝90°﹣∠HAF＝30°，

∴∠DFE＝60°，

∴△DEF为等边三角形，

∴EF＝DE＝5，

∴HF＝HE+EF＝+5＝，

在Rt△AHF中，∠AFH＝30°，

∴AH＝HF＝，

∴S△AEF＝EFAH＝×5×＝，

∵AD＝AE，FD＝FE，AF＝AF，

∴△ADF≌△AEF(SSS)，

∴△ADF的面积为.