Question

小明在计算

1

2

×

1

3

=

1

6

，

1

3

×

1

4

=

1

12

，

1

4

×

1

5

=

1

20

，…时发现

1

6

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4

-

1

5

，…
（1）用式子表示这一变化规律；
（2）利用这一规律计算：

2

(x+1)(x+3)

+

2

(x+3)(x+5)

+

2

(x+5)(x+7)

+…+

2

(x+2005)(x+2007)

．

Answer 1

分析：（1）仔细观察不难发现，本题规律是相邻两数倒数的积，等于它们倒数的差；
（2）利用规律，先把每一个分式分解成两个分式的差，再利用分式的加减运算法则即可求解．

解答：解：（1）根据题意

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）

2

(x+1)(x+3)

+

2

(x+3)(x+5)

+

2

(x+5)(x+7)

+…+

2

(x+2005)(x+2007)

=

1

x+1

-

1

x+3

+

1

x+3

-

1

x+5

+

1

x+5

-

1

x+7

+…+

1

x+2005

-

1

x+2007

=

1

x+1

-

1

x+2007

=

x+2007-x-1

(x+1)(x+2007)

=

2006

(x+1)(x+2007)

．

点评：本题主要考查学生总结规律运用规律的能力，这就要求学生在平时的学习中积累经验提高个人数学素养．