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14.如图,已知在△ABC中,∠A=90°.
(1)请用圆规和直尺作出⊙P,使圆心P在AC边上,且与AB,BC两边都相切;(保留作图痕迹,不写作法和证明) 
(2)若∠B=60°,AB=6,则⊙P的面积为12π.

分析 (1)作角B的平分线,与AC的交点就是圆心P,此时⊙P与AB,BC两边都相切;
如图,作BC的垂线PD,证明PD和半径相等即可,根据角平分线的性质可得:PA=PD.
(2)根据角平分线得∠PBA=30°,根据30°角的正切求圆P的半径AP的长,代入面积公式可以求⊙P的面积.

解答 解:(1)作法:①作∠ABC的平分线BP,交AC于P,
②以P为圆心,以PA为半径作圆,
则⊙P就是符合条件的圆;
证明:过P作PD⊥BC于D,
∵∠BAC=90°,
∴⊙P与AB相切,
∵BP平分∠ABC,
∴AP=PD
∵⊙P的半径是PA,
∴PD也是⊙P的半径,即⊙P与BC也相切;
(2)∵∠ABC=60°,BP平分∠ABC,
∴∠ABP=30°,
∴tan30°=PAAB
∴PA=AB•tan30°=6×33=23
∴⊙P的面积=π×(232=12π,
故答案为:12π.

点评 本题考查了切线的判定和圆的作图题,切线必须满足两个条件:a、经过半径的外端;b、垂直于这条半径,否则就不是圆的切线.掌握切线的判定方法:①无交点,作垂线段,证半径;②有交点,作半径,证垂直;本题利用了第①种判定方法.

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