Question

【题目】如图，△ABC为⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一点，PA交BC于D，已知PB＝3，PC＝6，则PD＝_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

在PA上截取PE=PB，连接BE，则有△BEP是等边三角形，由SAS证得△ABE≌△CBP，则AE=CP，得到AP=AE+PE=PB+PC，即可求出AP的值，再证明△ABD∽△APB，得到BD和AB的数量关系，再证明△BPD∽△APC，即可求出PD的值．

在PA上截取PE＝PB，连接BE，

∵△ABC是等边三角形，∠ACB＝APB，

∴∠ACB＝∠APB＝60°，AB＝BC，

∴△BEP是等边三角形，BE＝PE＝PB，

∴∠ACB﹣∠EBC＝APB﹣∠EBC＝60°﹣∠EBC，

∴∠ABE＝∠CBP，

∵在△ABE与CBP中，

，

∴△ABE≌△CBP，

∴AE＝CP，

∴AP＝AE+PE＝PB+PC，

∵PB＝3，PC＝6，

∴PA＝6+3＝9，

∵∠BAP＝∠DAB（公共角），

∠ABC＝∠ACB＝∠APB＝60°，

∴△ABD∽△APD，

∴，

∴，

∴BD＝AB＝AC，

∵∠PBD＝∠PAC，

∠BPD＝∠APC＝60°，

∴△BPD∽△APC，

∴，

∴，

∴PD＝6×＝2．

故答案为2．