Question

4．如图，?ABCD中，对角线BD⊥AB，AD=5cm，CD=4cm，动点E从点C出发，沿C-D方向以1cm/s的速度运动，动点F从点A出发，沿A-D-B方向以2cm/s的速度运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．连接EF并延长交BA的延长线于点M．设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形AMDE是平行四边形？
（2）设四边形BCEF的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）直接写出使△BEF是等腰三角形的t的值．

Answer 1

分析 （1）根据三角形相似的判定，证明△MAF∽△EDF，进而用含t的式子表示MA，再根据平行四边形的性质，得MA=DE，求出t的值即可；
（2）根据题意，分0≤t≤$\frac{5}{2}$和$\frac{5}{2}$＜t≤4两种情况解答，根据整体减去部分的方法求出面积即可；
（3）要使△BEF是等腰三角形，只要满足BE=BF即可，根据全等即可求出t的值．

解答 解：（1）如图①，
在?ABCD中，AB=CD=4cm，AD=5cm，AB∥CD，
∴∠MAF=∠EDF，
∵∠MFA=∠EFD，
∴△MAF∽△EDF，
∴$\frac{MA}{AF}=\frac{DE}{DF}$，即$\frac{MA}{2t}=\frac{4-t}{5-2t}$，解得：MA=$\frac{2t（4-t）}{5-2t}$，
要使四边形AMDE是平行四边形，只要满足MA=DE即可，即$\frac{2t（4-t）}{5-2t}=4-t$，整理，得：4t²-21t+20=0，
解得：${t}_{1}=\frac{5}{4}$，t₂=4（不合题意，舍去），
∴当$t=\frac{5}{4}$时，四边形AMDE是平行四边形．
（2）∵AB⊥BD，AD=5cm，AB=4cm，
∴BD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=3$cm，
当0≤t≤$\frac{5}{2}$时，如图②，
过点F作FG⊥CD的延长线于点G，FH⊥AB于点H，
则GH=3cm，△AFH∽△DFG，
∴$\frac{FH}{FG}=\frac{AF}{DF}$，即$\frac{FH}{3-FH}=\frac{2t}{5-2t}$，解得：FH=$\frac{6}{5}$t，FG=3-$\frac{6}{5}$t，
∴S_{四边形BCEF}=S_?ABCD-S_△EDF-S_△ABF=4×3-$\frac{1}{2}$×DE×FG-$\frac{1}{2}$×AB×FH=$-\frac{3}{5}{t}^{2}+\frac{3}{2}t+12$；
当$\frac{5}{2}$＜t≤4时，如图③，
∴S_{四边形BCEF}=S_△BCD-S_△EDF=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×ED×DF=${t}^{2}-\frac{13}{2}t+16$，
综上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{5}{t}^{2}+\frac{3}{2}t+12（0≤t≤\frac{5}{2}）}\\{{t}^{2}-\frac{13}{2}t+16（\frac{5}{2}＜t≤4）}\end{array}\right.$．
（3）当t=1时，△BEF是等腰三角形．

点评 本题主要考查四边形、三角形的相关知识，第（1）小题，要熟练掌握相似三角形的性质和判定；第（2）小题，分两种情况讨论是解决此题对关键；第（3）小题，需要熟练掌握等腰三角形的判定方法．