学完“轴对称”这一章后，老师布置了一道思考题：如图所示，点M、N分别在等边△ABC的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q，求证：∠BQM=60°分析 （1）只要证明△ABM≌△BCN（SAS），推出∠BAM=∠CBN，可得∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°；
（2）①是真命题，证明方法类似；
②是真命题．证明方法类似；
③是假命题，证明方法类似；
解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
在△ABM和△BCN中，
∵BM=CN，∠ABM=∠BCN，AB=BC，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°；
（2）①是；②是；③否；
①已知：∠BQM=60°，求证：BM=CN，
证明：∵∠BQM=∠ABM=60°，∠BMQ=∠AMB，
∴△BMQ∽△AMB，∴∠CBN=∠BAM，
在△ABM和△BCN中，
∵∠BAM=∠CBN，AB=BC，∠ABM=∠BCN，∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴BM=CN；
②证明：如图，
在△ACM和△BAN中，
∵CM=AN，∠ACM=∠BAN=120°，AC=AB，∴△ACM≌△BAN（SAS），
∴∠AMC=∠BNA，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，
∴∠BQM=60°；
③证明：如图，
在Rt△ABM和Rt△BCN中，
∵BM=CN，AB=BC，
∴Rt△ABM≌Rt△BCN（HL），
∴∠AMB=∠BNC，
又∵∠NBM+∠BNC=90°，
∴∠QBM+∠QMB=90°，则∠BQM=90°．
故答案为：①是；②是；③否．
点评 本题考查等边三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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如图，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是30°，从A前进100米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，求山高CD的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）查看答案和解析>>
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