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    如图，Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=BC=2，E，F分别为AC，AB的中点，连接EF．现将一把直角尺放在给出的图形上，使直角顶点P在线段EF（包括端点）上滑动，直角的一边始终经过点C，另一边与BF相交于G，连接AP．
    （1）求证：PC=PA=PG；
    （2）设EP=x，四边形BCPG的面积为y，求y与x之间的函数解析式，现有三个数
    1
    2
    ，
    9
    8
    ，
    7
    4
    试通过计算说明哪几个数符合y值的要求，并求出符合y值时的x的值；
    （3）当直角顶点P滑动到点F时，再将直角尺绕点F顺时针旋转，两直角边分别交AC，BC于点M，N，连接MN．当旋转到使MN=
    10
    7
    时，求△APM的周长．
    分析：（1）由E，F分别是AC，AB的中点，可得到EF是三角形的中位线，所以EF的长可求，根据垂直平分线的性质可证明AP=PC，再证明PA=PG即可证明：PC=PA=PG；
    （2）过G作PF的垂线，垂足为H，首先证明Rt△PCE≌Rt△GPH（AAS），再进一步得到y和x的函数关系式为y=
    1
    2
    x2-x+
    3
    2
    ，或y=
    1
    2
    (x-1)2+1    ，因为0≤x＜1，所以1＜y≤
    3
    2
    ．所以
    1
    2
    ，
    7
    4
    不符合，所以只有
    9
    8
    ，把
    9
    8
    代入计算求出符合题意的x值即可；
    （3）连接CP，则CP⊥AB，因为AP=CP，∠A=∠PCN=45°，所以∠APM+∠MPC=∠CPN+∠MPN=90°，所以∠APM=∠CPN，△APM≌△CPN（ASA），所以AM=CN，则CM=BN，AM=CN=x，则CM=2-x，利用勾股定理进而得到关于x的方程，求出x的值即可求出△APM的周长．
    解答：解：（1）∵E，F分别是AC，AB的中点，
    ∴EF=
    1
    2
    BC=1    ，EF∥BC，
    ∴EF垂直平分AC，
    ∴AP=PC，
    ∴∠ECP=∠EAP；
    ∵∠CPG=90°，
    ∴∠ECP+∠EPC=∠GPF+∠EPC，
    ∴∠ECP=∠GPF．
    ∵∠GPF+∠PGF=∠AFE=45°，
    ∠EAP+∠PAF=45°，
    ∴∠PGF=∠PAF．
    ∴PA=PG，
    ∴PC=PA=PG；

    （2）过G作PF的垂线，垂足为H，（如图1）
    ∵∠ECP+∠EPC=90°，∠HPG+∠EPC=90°
    ∴∠ECP=∠HPG，PC=PG．
    则Rt△PCE≌Rt△GPH（AAS），
    ∴GH=PE=x，
    ∴y=
    1
    2
    (1+2)×1-
    1
    2
    x×1-
    1
    2
    (1-x)x    ，
    ∴y=
    1
    2
    x2-x+
    3
    2
    ，或y=
    1
    2
    (x-1)2+1    ，
    ∵0≤x＜1，
    ∴1＜y≤
    3
    2
    ．∴
    1
    2
    ，
    7
    4
    不符合，
    所以只有
    9
    8
    ，
    ∴
    1
    2
    x2-x+
    3
    2
    =
    9
    8
    ，4x2-8x+3=0，解得，x1=
    1
    2
    ，x2=
    3
    2
    ＞1（舍去），
    答当x=
    1
    2
    时，y的值为
    9
    8
    ．
    或①当y=
    1
    2
    时，
    1
    2
    x2-x+
    3
    2
    =
    1
    2
    ，△＜0，方程无实数解；
    ②当y=
    9
    8
    时，4x2-8x+3=0，解得，x1=
    1
    2
    ，x2=
    3
    2
    ＞1（舍去），
    所以当x=
    1
    2
    时，y的值为
    9
    8
    ．
    ③当y=
    7
    4
    时，
    1
    2
    x2-x+
    3
    2
    =
    7
    4
    ，解得x1=1-
    		6
    2
    ＜0（舍去），x2=1+
    		6
    2
    ＞1（舍去），所以不符合．

    （3）连接CP，则CP⊥AB，（如图2，3）
    ∵AP=CP，∠A=∠PCN=45°，
    ∠APM+∠MPC=∠CPN+∠MPN=90°，
    ∴∠APM=∠CPN，△APM≌△CPN（ASA），
    ∴AM=CN，
    则CM=BN，AM=CN=x，则CM=2-x，x2+(2-x)2=(
    10
    7
    )2    ，
    解得，x1=
    8
    7
    ，x2=
    6
    7
    ，即AM=
    8
    7
    或
    6
    7
    ；
    ∴PM=
    5
    7
    		2
    ，AP=
    		2
    ，
    ∴周长为
    8
    7
    +
    12
    7
    		2
    或
    6
    7
    +
    12
    7
    		2
    ．
    点评：本题考查了三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用以及一元二次方程的运用，题目的综合性很强，难度不小，对学生的解题能力要求很高．
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