Question

20．已知抛物线y=-x²+bx+c与直线y=-4x+m相交于第一象限不同的两点，A（5，n），B（e，f）
（1）若点B的坐标为（3，9），求此抛物线的解析式；
（2）将此抛物线平移，设平移后的抛物线为y=-x²+px+q，过点A与点（1，2），且m-q=25，在平移过程中，若抛物线y=-x²+bx+c向下平移了S（S＞0）个单位长度，求S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据点B的坐标可求出m的值，写出一次函数的解析式，并求出点A的坐标，最后利用点A、B两点的坐标求抛物线的解析式；
（2）根据题意列方程组求出p、q、m、n的值，计算平移后的抛物线的解析式，并求抛物线过A、C时的解析式，根据平移规律，计算其顶点坐标，向下平移的距离主要看顶点坐标的纵坐标之差即可．

解答 解：（1）∵直线y=-4x+m过点B（3，9），
∴9=-4×3+m，解得：m=21，
∴直线的解析式为y=-4x+21，
∵点A（5，n）在直线y=-4x+21上，
∴n=-4×5+21=1，
∴点A（5，1），
将点A（5，1）、B（3，9）代入y=-x²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{1=-25+5b+c}\\{9=-9+3b+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴此抛物线的解析式为y=-x²+4x+6；
（2）由抛物线y=-x²+px+q与直线y=-4x+m相交于A（5，n）点，得：
-25+5p+q=n①，-20+m=n②，
y=-x²+px+q过（1，2）得：-1+p+q=2③，
则有$\left\{\begin{array}{l}{-25+5p+q=n①}\\{-20+m=n②}\\{-1+p+q=2③}\\{m-q=25④}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=22}\\{p=6}\\{q=-3}\\{n=2}\\{\;}\end{array}\right.$
∴平移后的抛物线为y=-x²+6x-3=-（x-3）²+6，
顶点为（3，6），
一次函数的解析式为：y=-4x+22，
A（5，2），
∵当抛物线在平移的过程中，a不变，
∵抛物线与直线有两个交点，
如图所示，抛物线与直线一定交于点A，所以当抛物线过点C以及抛物线在点A处与直线相切时，只有一个交点介于点A、C之间，
当抛物线y=-x²+bx+c过A（5，2）、C（0，22）时，得c=22，b=1，
此时抛物线解析式为：y=-x²+x+22，
顶点（$\frac{1}{2}$，$\frac{89}{4}$）；
$\frac{89}{4}$-6=$\frac{65}{4}$；
则0＜S＜$\frac{65}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的图象和图形变换，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，注意抛物线平移后的形状不变，故a不变；平移的距离要看二次函数的顶点坐标，所以求抛物线平移的距离时，只考虑平移后的顶点坐标即可．