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    如图，抛物线y=x2-2x+a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M直线分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N．
    （1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M______，N______；
    （2）若点N关于y轴的对称点N′恰好落在抛物线上，求此时抛物线的解析式；
    （3）在抛物线y=x2-2x+a（a＜0）上是否存在点P．使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．
    【答案】分析：（1）已知了抛物线的解析式，不难用公式法求出M的坐标为（1，a-1）．由于抛物线过A点，因此A的坐标是（0，a）．根据A，M的坐标，用待定系数法可得出直线AM的解析式为y=-x+a．直线AM和y=x-a联立方程组即可求出N的坐标为（a，-a）．
    （2）根据折叠的性质不难得出N与N′正好关于y轴对称，因此N′的坐标为（-a，-a）．由于N′在抛物线上，因此将N′的坐标代入抛物线的解析式中即可得出a的值．
    （3）本题可分两种情况进行讨论：
    ①当P在y轴左侧时，如果使以P，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形，那么P需要满足的条件是PN平行且相等于AC，也就是说，如果N点向上平移AC个单位即-2a后得到的点就是P点．然后将此时P的坐标代入抛物线中，如果没有解说明不存在这样的点P，如果能求出a的值，那么即可求出此时P的坐标．
    ②当P在y轴右侧时，P需要满足的条件是PN与AC应互相平分（平行四边形的对角线互相平分），那么NP必过原点，且关于原点对称．那么可得出此时P的坐标，然后代入抛物线的解析式中按①的方法求解即可．
    解答：解：（1）∵y=x2-2x+a=（x-1）2-1+a，
    ∴顶点M的坐标为；（1，a-1），
    由于抛物线过A点，因此A的坐标是（0，a）．
    设直线AM的解析式为y=kx+b，
    则，
    解得：，
    则直线AM的解析式为：y=-x+a．
    直线AM和y=x-a联立方程组，
    ，
    解得：，
    即可求出N的坐标为（a，-a）．

    （2）∵由题意得点N与点N′关于y轴对称，
    ∴N′（-a，-a）．
    将N′的坐标代入y=x2-2x+a得：
    -a=a2+a+a，
    ∴a1=0（不合题意，舍去），a2=-．
    ∴此时抛物线的解析式为：y=x2-2x-；

    （3）存在，理由如下：
    当点P在y轴的左侧时，若四边形ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC，
    由A（0，a），C（0，-a），得AC=-2a，
    则把N向上平移-2a个单位得到P，坐标为（a，-a），代入抛物线的解析式，
    得：-a=a2-a+a，
    解得a1=0（不舍题意，舍去），a2=-，
    则P（-，）；
    当点P在y轴的右侧时，若四边形APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，
    由A（0，a），C（0，-a），则OA=OC，OP=ON．
    则P与N关于原点对称，
    则P（-a，a）；
    将P点坐标代入抛物线解析式得：a=a2+a+a，
    解得a1=0（不合题意，舍去），a2=-，
    则P（，-）．
    故存在这样的点P1（-，）或P2（，-），能使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形．
    故答案为：（1，a-1），（a，-a）．
    点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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    精英家教网如图，抛物线y=x2+4x与x轴分别相交于点B、O，它的顶点为A，连接AB，AO．
    （1）求点A的坐标；
    （2）以点A、B、O、P为顶点构造直角梯形，请求一个满足条件的顶点P的坐标．

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    16、如图，抛物线y=-x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B的左侧．当x=x2-2时，y
    ＜
    0（填“＞”“=”或“＜”号）．

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    已知如图，抛物线y=x2+（k2+1）x+k+1的对称轴是直线x=-1，且顶点在x轴上方．设M是直线x=-1左侧抛物线上的一动点，过点M作x轴的垂线MG，垂足为G，过点M作直线x=-1的垂线MN，垂足为N，直线x=-1与x轴的交于H点，若M点的横坐标为x，矩形MNHG的周长为l．
    （1）求出k的值；
    （2）写出l关于x的函数解析式；
    （3）是否存在点M，使矩形MNHG的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•扬州）如图，抛物线y=x2-2x-8交y轴于点A，交x轴正半轴于点B．
    （1）求直线AB对应的函数关系式；
    （2）有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点A、B之间平行移动，直尺两长边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN、PQ，设M点的横坐标为m，且0＜m＜3．试比较线段MN与PQ的大小．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A，B两点．
    （1）求A，B两点的坐标；
    （2）求抛物线顶点M关于x轴对称的点M′的坐标，并判断四边形AMBM′是何特殊平行四边形．（不要求说明理由）

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