Question

据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．
（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算（9-1）、（9+1）与（25-1）、（25+1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；
（2）根据（1）的规律，用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且m＞4）的代数式来表示他们的股和弦．

Answer 1

解：（1）∵（9-1）=4，（9+1）=5；（25-1）=12，（25+1）=13；
∴7，24，25的股的算式为（49-1）=（7²-1）
弦的算式为（49+1）=（7²+1）；

（2）当n为奇数且n≥3，勾、股、弦的代数式分别为：n，（n²-1），（n²+1）．
例如关系式①：弦-股=1；关系式②：勾²+股²=弦²
证明关系式①：弦-股=（n²+1）-（n²-1）=[（n²+1）-（n²-1）]=1
或证明关系式②：勾²+股²=n²+[（n²-1）]²=n⁴+n²+=（n²+1）²=弦²∴猜想得证；

（3）例如探索得，当m为偶数且m＞4时，股、弦的代数式分别为：，．
另加分问题，
例如：连接两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股．
即上一组为：n，（n²-1），（n²+1）（n为奇数且n≥3），
分别记为：A₁、B₁、C₁，
下一组为：n+2，[（n+2）²-1]，[（n+2）²+1]（n为奇数且n≥3），
分别记为：A₂、B₂、C₂，
则：A₁+B₁+A₂=n+（n²-1）+（n+2）=（n²+4n+3）=[（n+2）²-1]=B₂．
或B₁+C₂=B₂+C₁（证略）等等．
分析：（1）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；
（2）股是勾的平方减去4的四分之一，弦是勾的平方加4的四分之一．
点评：注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式．