Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，连接AC、BD，半径CO交BD于点E，过点C作切线，交AB的延长线于点F，且∠CFA=∠DCA．
（1）求证：OE⊥BD；
（2）若BE=2，CE=1 ①求⊙O的半径；
②求△ACF的周长

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CF是⊙O的切线，

∴OC⊥CF，

∴∠OCF=90°，

∵∠DCA=∠DBA，

∴∠DBA=∠CFA，

∴DB∥CF，

∴∠OEB=∠OCF=90°，

∴OE⊥DB；

（2）解：①设⊙O的半径为r，

∵CE=1，OE=r﹣1，

∵BE=2，

在Rt△BOE中，OB2=OE2+BE2，

∴r2=（r﹣1）2+22，

∴r= ，

∴⊙O的半径为 ；

②连接BC，

∵CE=1，BE=2，

∴BC= ，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AC= =2 ，

∵CF是⊙O的切线，

∴∠A=∠BCF，

∵∠F=∠F，

∴△ACF∽△CBF，

∴ =2，

∴CF=2BF，

∵ ，

∴CF2=AFBF，

∴4BF2=（5+BF）BF，

∴BF= ，

∴CF= ，AF= ，

∴△ACF的周长=AC+CF+AF=2 + + =10+2 ．

【解析】（1）根据切线的性质得到OC⊥CF，推出DB∥CF，根据平行线的性质即可得到结论；（2）①设⊙O的半径为r，根据勾股定理求得结论； ②连接BC，根据勾股定理得到BC= ，根据圆周角大家得到∠ACB=90°，根据勾股定理得到AC= =2 ，由弦切角定理得到∠A=∠BCF，根据相似三角形的性质得到CF=2BF，BF= ，于是得到结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用勾股定理的概念和垂径定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．