Question

在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．试探索以下问题：

（1）当点E为AB的中点时，如图1，请判断线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE

=

 DB（填“＞”“＜”或“=”）．
（2）当点E为AB上任意一点时，如图2，AE与DB的大小关系会改变吗？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）如图1，过E作EF∥BC交AC于F，由等边三角形的性质就可以得出△DBE≌△EFC，就可以得出结论；
（2）如图2，过E作EF∥BC交AC于F，由等边三角形的性质就可以得出△DBE≌△EFC，就可以得出结论；

解答：解：（1）过E作EF∥BC交AC于F，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠FEC=∠BCE．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠A=∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=AF=EF．
∴AB-AE=AC-AF，
∴BE=CF．
∵∠AFE+∠EFC=180°，∠DBE+∠ABC=180°，
∴∠DBE=∠EFC．
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE，
∴∠D=∠CEF．
在△DBE和△EFC中，

∠D=∠CEF ∠DBE=∠EFC DE=EC

，
∴△DBE≌△EFC（AAS），
∴DB=EF，
∴DB=AE．
故答案为：=；
（2）AE=DB．
理由：如图2，过E作EF∥BC交AC于F，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠FEC=∠BCE．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠A=∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=AF=EF．
∴AB-AE=AC-AF，
∴BE=CF．
∵∠AFE+∠EFC=180°，∠DBE+∠ABC=180°，
∴∠DBE=∠EFC．
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE，
∴∠D=∠CEF．
在△DBE和△EFC中，

∠D=∠CEF ∠DBE=∠EFC DE=EC

，
∴△DBE≌△EFC（AAS），
∴DB=EF，
∴DB=AE．

点评：本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．