Question

4．如图，△ABC是等边三角形，AB=3cm，动点P、Q分别从点B，C同时出发，运动速度均为2cm/s，点P从B点出发，沿B→C运动，到点C停止，点Q从点C出发，沿C→B运动，到点B停止，连接AP、AQ，点P关于直线AB的对称点为D，连接BD、DQ，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当PQ=BD时，t=$\frac{1}{2}$s；
（2）求证：△ACP≌△ABQ；
（3）求证：△ADQ是等边三角形．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称图形的性质证明BD=BP，然后求出PQ的长，由PQ=BD即可求出t的值．
（2）根据判定定理（SAS）证明即可．
（3）只需证明△ABP≌△ACQ、△ABD≌△ABP，再根据全等图形的性质即可证明△ADQ是等边三角形．

解答 （1）解：由题意可知：BP=2t，BQ=2t
∴PQ=3-4t
∵点P关于直线AB的对称点为D，
∴BP=BD
∴当PQ=BD时，有：3-4t=2t，t=$\frac{1}{2}$
即：当PQ=BD时，t=$\frac{1}{2}$
故答案为：$\frac{1}{2}$
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，AB=3cm，
∴AB=AC=3cm，∠ABQ=∠ACP=60°
在△ACP与△ABQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC（已证）}\\{∠ABQ=∠ACP=60°}\\{BQ=CP=2t+PQ}\end{array}\right.$
∴△ACP≌△ABQ（SAS）
（3）如图：

在△ABP与△ACQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC=3cm}\\{∠ABP=∠ACQ=60°}\\{BP=CQ=2t}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△ACQ（SAS）
又点P关于直线AB的对称点为D，
∴BD=BP，∠ABD=∠ABP
∴在△ABD与△ABP中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=BP}\\{∠ABD=∠ABP}\\{AB=AB}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ABP（SAS）
∴△ACQ≌△ABD
∴∠1=∠3，AQ=AP=AD
∵∠1+∠BAQ=∠3+∠BAQ=60°
即：∠DAQ=60°
∴△ADQ是等边三角形．

点评 本题考查了几何图形的变换问题，解题的关键是掌握轴对称图形的性质、全等三角形的性质、等边三角形的性质及其综合应用．