Question

已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a⁴+b²c²=b⁴+a²c²，试判断△ABC的形状．阅读下面解题过程：
解：由a⁴+b²c²=b⁴+a²c²得：
a⁴-b⁴=a²c²-b²c²①
（a²+b²）（a²-b²）=c²（a²-b²）　　　　 ②
即a²+b²=c²③
∴△ABC为Rt△．　　　　　　　　④
试问：以上解题过程是否正确：________
若不正确，请指出错在哪一步？（填代号）________
错误原因是________
本题的结论应为________．

Answer 1

不正确    ③    漏掉了a=b时的情况    △ABC为等腰三角形或直角三角形
分析：由于②到③时等式两边都除以了a²-b²，如果a²-b²=0，根据等式的性质可知，此时不一定有③成立．
解答：由a⁴+b²c²=b⁴+a²c²得：
a⁴-b⁴=a²c²-b²c²，
（a²+b²）（a²-b²）=c²（a²-b²），
∴（a²+b²）（a²-b²）-c²（a²-b²）=0，
∴（a²-b²）（a²+b²-c²）=0，
∴（a²-b²）=0或a²+b²-c²=0，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
点评：本题主要考查了等式的性质以及等腰三角形、直角三角形的判定．
等式的性质：等式的两边乘以或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式．