Question

已知：如图，在半径为8的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=2

15

．
（1）求证：

AM

EM

=

MC

MB

；
（2）求EM的长；
（3）求sin∠EOB的值．

Answer 1

分析：（1）连接A、C，E、B点，那么只需要求出△AMC和△EMB相似，即可求出结论，根据圆周角定理可推出它们的对应角相等，即可得△AMC∽△EMB，进而证明

AM

EM

=

MC

MB

；
（2）根据圆周角定理，结合勾股定理，可以推出EC的长度，根据已知条件推出AM、BM的长度，然后结合（1）的结论，很容易就可求出EM的长度；
（3）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，通过作辅助线，解直角三角形，结合已知条件和（1）（2）所求的值，可推出Rt△EOF各边的长度，根据锐角三角函数的定义，便可求得sin∠EOB的值．

解答：（1）证明：连接AC、EB，
∵∠A=∠BEC，∠B=∠ACE，
∴△AMC∽△EMB，
∴

AM

EM

=

MC

MB

；

（2）解：∵DC是⊙O的直径，
∴∠DEC=90°，
∴DE²+EC²=DC²，
∵DE=2

15

，CD=16，且EC为正数，
∴EC=14，
∵M为OB的中点，
∴BM=4，AM=12，
∵

AM

EM

=

MC

MB

∴AM•BM=EM•CM=48，且EM＞MC，
∴EM=8；

（3）解：过点E作EF⊥AB，垂足为点F，
∵OE=8，EM=8，
∴OE=EM，
∴OF=FM=2，
∴EF=

82-22

=2

15

∴sin∠EOB=

EF

OE

=

2 15

8

=

15

4

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理，锐角三角函数定义、勾股定理的知识点，本题关键根据已知条件和图形作好辅助线，结论就很容易求证了．