Question

已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM和△CBN都是等边三角形，AN、BM交于点P，由△BCM≌△NCA，易证结论：①BM=AN．

（1）请写出除①外的两个结论：____________；
（2）求出图1中AN和BM相交所得最大角的度数______；
（3）将△ACM绕C点按顺时针方向旋转180°，使A点落在BC上，请对照原题图形在图2中画出符合要求的图形（不写作法，保留痕迹）；
（4）探究图2中AN和BM相交所得的最大角的度数有无变化______（填变化或不变）；
（5）在（3）所得到的图形2中，请探究“AN=BM”这一结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∠MBC=∠ANC、∠BMC=∠NAC．

（2）∵∠CNP=∠CBP，
∵∠APB=∠BNC+∠CNP+∠NBP=∠BNC+∠NBP+∠ABP=∠NBC+∠BNC=120°；

（3）

（4）不变；

（5）成立．
证明：∵三角形NBC和AMC都是等边三角形，
∴BC=CN，MC=AC，∠MCB=∠NCA=60°；
∴△CAN≌△MCB；
∴AN=BM．
分析：（1）可根据全等三角形的对应角相等和对应边相等来得出结论；
（2）本题求的是∠APB的度数，∠APB是三角形BNP的外角，因此利用三角形外角的特点得出结论；
（4）要通过证△BMC≌△ACN来实现，根据已知条件来证明这两个三角形两三角形全等，然后根据（2）的步骤即可得出最大角仍是120°；
（5）通过证三角形ANC和BCM全等来得出AN=BM，方法同（4）．
点评：本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定，根据全等三角形来得出相等的边和角是解题的关键．