Question

【题目】已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c和一次函数g（x）＝﹣bx，其中a、b、c，满足a＞b＞c，a+b+c＝0．

（1）求证：这两个函数的图象交于不同的两点；

（2）设这两个函数的图象交于A，B两点，作AA1⊥x轴于A1，BB1⊥x轴于B1，求线段A1B1的长的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）＜A1B1＜2．

【解析】

（1）把两个函数联立成方程组，转化为解一元二次方程，用根的判别式求解即可；

（2）A1B12＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，用根与系数的关系转化为含a、b、c的式子，再配方求解.

（1）证明：联立方程得：ax2+2bx+c＝0，

△＝4（b2-ac），

∵a＞b＞c，a+b+c＝0，

∴a＞0，c＜0，

∴ac＜0，

∴△＞0，

∴两函数的图象相交于不同的两点；

（2）解：设方程ax2+2bx+c＝0的两根为x1，x2，则

A1B12＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，

＝（﹣）2﹣＝＝，

＝4[（）2++1]，

＝4[（）2+]，

∵a＞b＞c，a+b+c＝0，

∴b＝﹣（a+c）,

∴a＞﹣（a+c）＞c，a＞0，

∴﹣2＜＜﹣，

此时3＜A1B12＜12，

∴＜A1B1＜2．